Парная линейная регрессия

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид: ŷ = b₀ + b₁ · x,где ŷ — оценка условного математического ожидания y; b₀, b₁ — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению. Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Г(т) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.

Полученная зависимость графически точками координатной плоскости. Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции. По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными Х и Y. Коэффициент b_i называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Y по X. Коэффициент регрессии У по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Поэтому уравнение регрессии (3.2) будем искать в виде линейного уравнения: ŷ = b₀ + b₁ (3.3). Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры b₀ и b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_i от значений ŷ, найденных по уравнению регрессии (3.3), была минимальной: . (3.4) Для оценки параметров b_o и b₁ возможны и другие подходы. Например, согласно методу наименьших модулей следует минимизировать сумму абсолютных величин отклонений . Однако метод наименьших квадратов существенно проще.

Средние величины находятся по формулам: ; ; ; ; где n – кол-во. Уравнение регрессии будем искать в виде: . (3.12) Коэффициент b₁ наз-ся выборочным коэффициентом регрессии или просто коэффициентом регрессии Y по X. Y по X. Показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная y при увеличении переменной x на 1. , где cov – ковыряция, Sx² – выборочная дисперсия переменной х; cov(x,y) – выборочная ковыряция. .