В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргумента, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов. Всякую непрерывно дифференцируемую функцию можно разложить в ряд Фурье:
коэффициенты находятся по следующим формулам
Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать её значения только в некотором конечном числе точек. Допустим, .В этом случае аналогом функции непрерывной интерполяции функции будет дискретный вариант:
Разложение имеет место когда функцию можно приблизить тригонометрическим многочленом следующего вида в заданных нам точках
Система функций является ортогональной, на множестве точек при том что , таким образом разложение имеет место и коэффициенты представляются в виде:
Далее для удобства записи будем использовать
Часто используется следующий вид формул:
и это соответствует интерполяции тригонометрическим многочленом
|
|
,
где коэффициенты считаются по тем же формулам.
Если вычисления проводить по вышеприведённым формулам, то на выполнения каждого из преобразований потребуется арифметических операций (считаем, что уже вычислены). Если N не является простым числом, то количество операций можно значительно сократить, используя быстрое преобразование Фурье.