Интерпретация параметров моделей с распределённым лагом. Изучение структуры лага и выбор вида модели с распределённым лагом

Распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна и равна p

у = а + b„ • х + b • xt,+... + b • х.

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной ув течение t следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на одну единицу своего измерения в не-который фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t + 2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b0 + b1 + b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b0 + b1 +...+ bl) абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

b = b0 + b +...+ bi.

Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.

Во-первых, текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.

Во-вторых, при большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней свободы в модели.

В-третьих, в моделях с распределенным лагом часто возникнет проблема автокорреляции остатков.

Вышеуказанные обстоятельства приводят к значительной неопределенности относительно оценок параметров модели, снижению их точности и получению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на практике параметры моделей с распределенным лагом проводят в предположении определенных ограничений на коэффициенты регрессии и в условиях выбранной структуры лага.

Рассмотрим теперь следующую модель авторегрессии:

yt = а + b0 • xt + c1 • yt—1.

Как и в модели с распределенным лагом, b0 в этой модели характеризует краткосрочное изменение yt под воздействием изменения xt на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрессии несколько иные. К моменту времени (t + 1) результат yt изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на b0 ед., а yt+1 под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени - на с1 ед. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент (t + 1) составит b0-Q ед. Аналогично в момент времени (t + 2) абсолютное изменение результата составит b0 • q ед. и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов

b = b0 + b0c1 + b0c1 + b0q...

С учетом предположения | c1| < 1 (называемое условие стабильности) по-следнее соотношение преобразуется к виду

b = b0 • (1 + c1 + cf + c3...) = 1— c1

где | С1І < 1.

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.