Полиномиальная регрессия

Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида .

ПРИМЕР. Рассмотрим решение задачи на примере опытных данных

Введем эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1-М2. Построим график. Для этого обведем данные Y (ячейки В2-М2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что график имеет 2 экстремума и один перегиб, поэтому его можно приблизить полиномом 3 степени . Для нахождения коэффициентов нужно решить систему уравнений:

Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «X^2», а в В3 вводим формулу «=В1*В1» и автозаполнением переносим ее на всю строку В3-М3. В ячейку А4 вводим подпись «X^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и автозаполнением переносим ее на всю строку В4-М4. В ячейку А5 вводим «X^4», а в В5 формулу «=В4*В1», автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «X^5», а в В6 формулу «=В5*В1», автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «X^6», а в В7 формулу «=В6*В1», автозаполняем строку. В ячейку А8 вводим «X*Y», а в В8 формулу «=В2*В1», автозаполняем строку. В ячейку А9 вводим «X^2*Y», а в В9 формулу «=В3*В2», автозаполняем строку. В ячейку А10 вводим «X^3*Y», а в В10 формулу «=В4*В2», автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец N, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку N1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком S, вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки N1-N10.

Решаем теперь систему уравнений. Для этого вводим основную матрицу системы. В ячейку А13 вводим подпись «А=», а в ячейки матрицы В13-Е16 вводим ссылки, отраженные в таблице

Вводим также правые части системы уравнений. В G13 вводим подпись «В=», а в Н13-Н16 вводим, соответственно ссылки на ячейки «=N10», «=N9», «=N8», «=N2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно . Находим обратную матрицу. Для этого в ячейку I13 вводим подпись «А обр.» и, поставив курсор в J13 задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки B13:E16. Результатом также должна быть матрица размером 4х4. Для ее получения обводим ячейки J13-M16 мышью, выделяя их и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – матрица . Найдем теперь произведение этой матрицы на Столбец В (ячейки Н13-Н16). Вводим в ячейку А18 подпись «Коэффициенты» и в В18 задаем функцию МУМНОЖ (категория – «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу (ячейки J13-M16), а в поле «Массив 2»даем ссылку на столбец В (ячейки H13-H16). Далее выделяем В18-В21 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив – коэффициенты уравнения регрессии . В результате получаем уравнение регрессии вида:

.

Построим графики исходных данных и полученных на основании уравнения регрессии. Для этого в ячейку А11 вводим подпись «Регрессия» и в В11 вводим формулу «=$B$18*B4+$B$19*B3+$B$20*B1+$B$21». Автозаполнением, переносим формулу в ячейки В11-М11. Для построения графика выделяем ячейки В11-М11 и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2-М2. Вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что кривые почти совпадают.

Задание на самостоятельную работу

Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры y_i от количества внесенных в почву минеральных удобрений x_i. Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида .