Матем. ожид.дискретн

случ. перем. назыв. вел-на:M(x)=сумма(P_i*x_i),где M(x)-матем ожид. СДП х, P_i-вероятность появл. в опытах знач-я х_i,n-кол-во допустимых значений ДСВеличины. Матем. ожид-средневзвеш. значение ДСП,где в качестве веса использ значение вероятности.

Дисперсией дискретн случперемен назыв. в-на:D²(x)=сумма(x_i-M(x))²*P(x_i), где D²(x)-дисперсия случ.перем.х. Дисперсия случ. вел-ны выступает в качестве характеристики разброса возможных ее значений. Положит. корень из дисперсии назыв средним квадратич.отклонением или стандартным отклонением,или стандартной ошибкой.

^ Матем.ожидание непрерывн. случ. перемен Х с законом распределения р_х(t) назыв. в-на:М(х)=интеграл от – бесконечности до + бесконечности tp_x(t)dt, что назыв. перв начальн.моментом ф-ции p_x(t).Через рез-ты наблюдений матем.ожид-е вычисл.:M(x)=(1/n)сумма(x_i).

^ Дисперсией непрерывн.случ. перемен. Х с функцией плотности вероятности p_x(t) назыв. выраж-е: D²(x)= интеграл от – бесконечности до + бесконечности(t-M(x))²p_x(t)dt,что назыв вторым центр моментом ф-ции p_x(t).В общем случае дисперсия случ.перем.: D²(x)=М(х-М(х))²=М(х²)-М²(х).

Ковариацией двух случ.перем. ХиУ:COV(x,y)=M((x-M(x))(y-M(y))).Значение ковариации отраж.наличие связи между 2 случ.перем.Если COV(x,y)>0,связь между XиY положит.,если <0-отрицат., если=0,X и Y-независ.перемен.Область возможн.знач. ковариации-вся числовая ось. Недостатки устраняются путем деления знач ковариации на знач стандартн отклонений перемен,что назыв коэф-нтом корреляции. это безразмерн вел-на,предел от -1 до 1 включительно. Ф-ла:р(х,у)=COV(x,y)/(D(x)*D(y)).

7.Функциональные и корреляционные типы связей. Ковариация, корреляция

Существуют два вида связи: функциональная и корреляционная, которые обусловлены двумя типами закономерности: динамической и статистической. Для явлений, где проявляется динамические закономерности, характерна жесткая, механическая причинность, которая может быть выражена в виде уравнения четкой зависимости и т.д.Такая зависимость называется функциональной.При функциональной связи каждому значению одной величины соответствует одно или несколько вполне определенных значений другой величины.Связь, при которой каждому значению аргумента соответствует не одно, а несколько значений функций и между аргументом и функциями нельзя установить строгой зависимости, называется корреляционной. Классификация корреляционной связи: 1. по тесноте связи: отсутствует, слабая, умеренная, сильная. 2. По направлению: прямая и обратная. Если с увиличением аргумента Х функция у также увеличивается без всяких единичных исключений – полная прямая связь.Если с увеличением аргумента Х функция у уменьшается без всяких единичных исключений – полная обратная связь. 3. По форме выражения: прямолинейная и криволинейная

Наряду с функцией регрессии в эконометрике существенно используются числовые характеристики взаимосвязи пары случайных переменных (x, y). Эти характеристики именуются ковариацией и коэффициентом корреляции. Ковариацией называется константа , определенная по правилу Свойства математического ожидания позволяют представить и так: , где Оценкой ковариации служит величина , именуемая выборочной ковариацией. Так же размерность равна произведению значений размерности случайных переменных x и y. Часто удобно использовать безразмерную ковариацию Константа именуется еще коэффициентом корреляции. Всегда .

8.Ковариация, коэффициенты корреляции и детерминации. Частные коэффициенты корреляции

Наряду с функцией регрессии в эконометрике существенно используются числовые характеристики взаимосвязи пары случайных переменных (x, y). Эти характеристики именуются ковариацией и коэффициентом корреляции. Ковариацией называется константа , определенная по правилу Свойства математического ожидания позволяют представить и так: , где Оценкой ковариации служит величина , именуемая выборочной ковариацией. Так же размерность равна произведению значений размерности случайных переменных x и y. Часто удобно использовать безразмерную ковариацию Константа именуется еще коэффициентом корреляции. Всегда .

Коэффициент детерминации (R 2)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой модельюсвязи. Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных. где yi — наблюдаемое значение зависимой переменной, а fi — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной. Коэффициент детерминации является случайной переменной. Он характеризует долю результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: 0≤ R2≤1. причем если R2= 1 то переменная yt полностью объясняется регрессором xt. В множественной регрессионной модели добавление дополнительных регрессоров увеличивает значение коэффициента детерминации, поэтому его корректируют с учетом числа независимых переменных:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и фактором при устранении влияния другого фактора, которые включены в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции определяются как отношение сокращения остаточной дисперсии, имевшей место до введение его в регрессионную модель. Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по рекуррентной формуле могут находиться в пределах от -1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнивая их друг с другом можно ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.

9.Временные ряды и их структура

Временными данными называется совокупность экономической информации, которая характеризует один и тот же объект, но за разные периоды времени.

Отдельно взятый временной ряд можно рассматривать как выборку из бесконечного ряда значений показателей во времени.Примером временных данных могут служить данные о динамике индекса потребительских цен, ежедневные обменные курсы валют.

Отличия временных данных от пространственных данных:

1) единицы временных рядов подвержены явлению автокорреляции (зависимости между прошлыми и текущими наблюдениями временного ряда), т. е. они не являются статистически независимыми в отличие от единиц случайной пространственной выборки;

2) единицы временных рядов не являются одинаково распределёнными величинами;

3) в отличие от пространственных данных временные данные естественным образом упорядочены во времени.

Временные ряды состоят из двух элементов:

• периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;

• числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

по форме представления уровней:

• ряды абсолютных показателей;

• относительных показателей;

• средних величин.

по количеству показателей, для которых определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;

по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени.В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени.Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней.Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;

по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие — когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) — когда принцип равных интервалов не соблюдается;

по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды;

временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины.

в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды, в которых среднее значение и дисперсия постоянны, и нестационарные, содержащие основную тенденцию развития

10.Выявление и устранение аномальных наблюдений во временных рядах.
Под аномальнымуровнемпонимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода:
ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко – ошибки второго рода; они устранению не подлежат.
Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических Совокупностей -
Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

Где среднеквадратичное отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

Расчетные значения и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина ‚и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
После Выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются либо заменой аномальных уровней простой средней
арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

11.Адаптивные модели прогнозирования

Наиболее перспективными для прогнозирования рядов со столь сложной структурой являются адаптив­ные модели, в которых имеются компоненты, отражающие и тренд, и сезонные составляющие.

Наиболее часто исследователь имеет дело с новыми явлениями, характеризующиеся короткими статистическими рядами или со старыми явления­ми, претерпевающими коренные изменения. Поэтому при ис­пользовании информации для построения моделей, прежде всего, возникает вопрос о преемственности данных. Устаревшие данные при моде­лировании часто оказываются бесполезными и даже вредными. К тому же необходимо знать, не как развивается процесс в сред­нем, а как будет развиваться его тенденция, существующая в данный момент. Следовательно, нужно строить модели, опираясь в основном на малое количество самых свежих данных. В этом случае альтернативой статистическому обоснованию модели мо­жет быть наделение ее адаптивными свойствами.

Важную роль в деле совершенствования прогнозирования должны сыграть адаптивные методы. Цель адаптивных методов заключается в построении самокорректирующихся (самонастраи­вающихся) моделей, которые способны отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность раз­личных членов временной последовательности и давать достаточ­но точные оценки будущих членов данного временного ряда. От­личие адаптивных моделей от других прогностических моделей состоит в том, что они отражают текущие свойства ряда и спо­собны непрерывно учитывать эволюцию динамических характе­ристик изучаемых процессов. Именно поэтому такие модели пред­назначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования.В основе адаптивных методов лежит простейшая модель экс­поненциального сглаживания. Модификации и обобщения этой модели привели к появлению целого семейства адаптивных мо­делей.