Квантовый гармонический осциллятор

Более реалистическая модель потенциальной ямы — гармонический осциллятор, потенциальная энергия которого служит параболической функцией координаты (§ 21.6). Модель гармонического осциллятора хорошо описывает колебания атомов внутри молекулы или в кристалле (см. § 10.3, 28.2). Потенциальная энергия гармонического осциллятора

Рис. 4

как функция координаты x показана на рис.4.

Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид

Опустив громоздкие математические преобразования, запишем сразу конечный результат для энергии гармонического осциллятора

(25)

т.е. и в этом случае энергия микрочастицы может принимать лишь ряд квантованных, дискретных значений.

Минимальное значение энергии гармонического осциллятора

(26)

отлично от нуля и называется энергией нулевых колебаний.

Если бы минимальная энергия гармонического осциллятора равнялась нулю, то импульс микрочастицы также равнялся бы нулю. Это возможно лишь в том случае, когда частица находится в положении равновесия, т.е. ее координата x=0. Однако высказанное предположение (W_o=0) противоречит соотношению неопределенностей Гейзенберга, поскольку при этом допускается возможность одновременного точного определения координаты (x=0) и импульса микрочастицы (p=0), что невозможно.

В классической физике было показано (см. § 8.2), что среднее значение энергии теплового движения частицы

(27)

Тогда при уменьшении температуры (T→0) среднее значение энергии стремится к нулю, что противоречит квантовомеханическому результату (26). Это противоречие снимается, если предположить, что классическое выражение для энергии теплового движения микрочастиц вблизи абсолютного нуля нарушается, т.е. при понижении температуры энергия колебательного движения микрочастиц (атомов в кристалле) уменьшается не до нуля (как это было бы в случае справедливости классической формулы при T→0), а стремится к некоторому, отличному от нуля значению W=ħω/2 ≠ 0. Этот вывод подтверждается экспериментами по рассеянию света на колебаниях атомов кристалла. При T→0 колебания атомов сохраняются, поэтому даже вблизи абсолютного нуля интенсивность рассеянного света имеет ненулевое значение.