Линейная модель обмена

(модель международной торговли)

Основные положения.

1. Имеется n – стран: S1, S2 ….Sn, национальный доход которых равен соответственно: x1, x2, x3 …..xn.

2. Обозначим через aij долю национального дохода Sj страны, которую она использует на покупку товаров в Si стране.

3. Будем считать, что весь национальный доход каждой страны используется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

(1)

Т.е. для j – страны выполняется равенство

a1j + a2j +…+ ajj + …+ anj = 1

4. Составим матрицу А

(2)

Данная матрица называется структурной матрицей торговли.

5. Для любой страны Si выручка от внутренней и внешней торговли составляет

Pi = ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn (3)

6. Для сбалансированности торговли необходима бездефицитность торговли каждой Si – страны, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше национального дохода:

Pi ≥ xi (4)

7. Запишем выражение (4) с учетом равенства (3)

a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn ≥ x1

a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn ≥ x2

……………………………………….

an1 x1 + an2 x2 +…+ ann xn ≥ xn (5)

8. Сложим почленно левую и правую части выражения (5) и сгруппируем относительно переменных x1, x2, …. хn.

x1 (a11+a12+..+a1n) + x2 (a12+a22+..+a2n) + …+ xn (a1n + a2n +…+ ann) ≥ x1 + x2 +…+xn. (6)

9. С учетом равенства (1) выражение (6) примет вид

x1 + x2 + … + xn ≥ x1 + x2 +…+ xn,

что является противоречием.

Следовательно, условие (4) примет вил

Pi = xi, i = 1,2…n (7)

С экономической точки зрения это и понятно, т.к. все страны не могут одновременной получать прибыль.

10. Введем вектор X = (x1 x2 x3 … xn) – вектор национальных доходов всех стран. Тогда выражение (7) с учетом равенства (3) и структурной матрицы А примет вид матричного уравнения

A X = X (8)

11. A X = X → A X - X = 0 → A X – E X = 0 → (A – E) X = 0

(A – E) X = 0 (9)

Таким образом. с математической точки зрения, модель международной торговли свелась к задаче нахождения собственного вектора, который соответствует собственному значению λ = 1.

Пример решения типовой задачи.