Решение задачи 1

Исходные данные

Задание 1

1. Построить линейное уравнение парной регрессии;

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;

3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Задание 2

1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ах^b, экспоненты у = ае^bх, показательной у = ab^x, любой на выбор;

2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;

3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;

4. Значимость определяется по критерию Фишера.

Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные

N	X	Y

Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
						98,71	11,29	127,42	10,26
						115,43	9,57	91,55	7,65
						107,07	3,93	15,43	3,54
						119,99	1,01	1,02	0,83
						102,51	6,49	42,09	5,95
						128,35	-1,35	1,83	1,06
						135,19	7,81	60,96	5,46
						129,11	-8,11	65,80	6,70
						134,43	19,57	382,91	12,71
						115,43	-7,43	55,23	6,88
						119,99	16,01	256,26	11,77
						101,75	7,25	52,53	6,65
						128,35	-3,35	11,24	2,68
						124,55	-14,55	211,76	13,23
						129,11	-9,11	83,03	7,59
						133,67	0,33	0,11	0,24
						137,47	-6,47	41,89	4,94
						107,83	-2,83	8,02	2,70
						97,19	-23,19	537,87	31,34
						126,83	-6,83	46,68	5,69
∑								2093,62	147,90
Ср.	50,55	119,65	6263,5	2838,45	14584,35	119,65		104,68	7,39

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

.

Определим коэффициент корреляции:

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости α=0,05 составит t_табл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

, поэтому параметры а, b, и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Получаем доверительные интервалы:

и ;

и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.