Решение задачи 2

В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.

у = a∙b^x.

Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии

Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:

ln(у) =ln(а)+ x∙ln(b),

Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).

Составим и решим систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

А=4,436 следовательно a=84,452;

B= 0,0067 следовательно b=1,0067.

Итого получаем

.

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
				529,00		98,47	11,53	132,90	201,64	10,48
				2025,00		114,05	10,95	119,80	0,64	8,76
				1156,00		105,98	5,02	25,23	174,24	4,53
				2601,00		118,72	2,28	5,21	10,24	1,89
				784,00		101,82	7,18	51,62	231,04	6,59
				3844,00		127,77	-0,77	0,59	7,84	0,60
				5041,00		135,68	7,32	53,59	353,44	5,12
				3969,00		128,62	-7,62	58,09	10,24	6,30
				4900,00		134,78	19,22	369,54	888,04	12,48
				2025,00		114,05	-6,05	36,66	262,44	5,61
				2601,00		118,72	17,28	298,70	139,24	12,71
				729,00		101,14	7,86	61,82	231,04	7,21
				3844,00		127,77	-2,77	7,65	0,64	2,21
				3249,00		123,57	-13,57	184,15	201,64	12,34
				3969,00		128,62	-8,62	74,33	17,64	7,18
				4761,00		133,88	0,12	0,01	96,04	0,09
				5476,00		138,43	-7,43	55,13	46,24	5,67
				1225,00		106,69	-1,69	2,85	368,64	1,61
				441,00		97,17	-23,17	536,63	2520,04	31,30
				3600,00		126,07	-6,07	36,85	17,64	5,06
∑				56769,00		2381,97	11,03	2111,36	5778,60	147,73
Ср.	50,55	119,65	6263,50	2838,45	14584,35	119,10	0,55	105,57	288,93	7,39

На рисунке 3 представим поле корреляции.

Рисунок 2 - Поле корреляции

Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции

Определим коэффициент эластичности

,

где

,

следовательно при изменении фактора"х" на 1% от своего среднего значения, "у" изменится на 0,334 % от своей средней величины.

Определение индекс корреляции

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим индекс детерминации:

Это значит, что 63,5% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Вывод

В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями "х" и "у", то есть: . Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.