Решение задач. 1.На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер

1. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Н_i – взятая наудачу деталь обработана на i-ом станке,i=1,2,3.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

, , .

Зависимости между производительностями станков означают следующее: . Причем P(H₁) +P(H₂) +P(H₃) = 1,так как гипотезы образуют полную группу.

Для того, чтобы найти вероятности появления гипотез, нам придется решить систему вышеперечисленных уравнений. Решив ее, получим .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

P(A) = P(H₁)P_H1(A) + P(H₂) P_H2(А) + P(H₃)P_H3(A)== .

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

,

,

.

Таким образом, доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере для первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.