Полная вероятность. Формула Байеса

Задача 6.

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из

некоторой полной группы событий H₁, H₂, …H_n.

События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда

P(A) = P(H₁)P_H1(A) + P(H₂) P_H2(А) +…+ P(Hn)P_Hn(A) (1)

(формула полной вероятности), причем

P(H₁) +P(H₂) +…+ P(H_n) = 1.

Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только

вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий (они

называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H₁, H₂,… Hn после

испытания, когда событие А имело место, т.е. P_A(Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):

P_A (Hi) = (2)

Замечания.

1) Вероятности P_A(H₁) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями

гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез

Hi. Эти вероятности различаются.

2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и

равен P(A).