Определение токов во всех ветвях цепи с применением законов Кирхгофа

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в

ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько цепей в ветвях (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m=5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи три узла (А,В,С), значит, число уравнений:

n-1 =3 - 1=2. Составляем три уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов 1 и 2.

Узел В: I₄=I₁+I₂

Узел С: I₂ = I₃+ I₅

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущую.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АДСВА - обход по часовой стрелке

E₂-E₁= I₂(R₂+r₀₂)-I₁(R₁+r₀₁)+I₃(R₃+r₀₃)

Контур АВА’А - обход по часовой стрелке

E₁= I₁(R₁+r₀₁)+I₄R₄

Контур А’СВА’ - обход против часовой стрелки

Е₂=I₂(R₂+ r₀₂) +I₄R₄+I₅R₅

ЭДС в контуре берется со знаком "+", если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак "-".

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком "-", если не совпадает.

Мы получили систему из пяти уравнений с шестью неизвестными:

I₃ = I₁+ I₂

I₂ = I₃+ I₅

E₂-E₁= I₂(R₂+r₀₂)-I₁(R₁+r₀₁)+I₃(R₃+r₀₃)

E₁= I₁(R₁+r₀₁)+I₄R₄

Е₂=I₂(R₂+ r₀₂) +I₄R₄+I₅R₅

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком "-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

Необходимо подставить значения и решить систему уравнений.

2.Определение токов во всех ветвях цепи с использованием метода контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n - 1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.38) можно рассмотреть три контура-ячейки (АДСВА, АВА'А, А'СВА’) и ввести для них контурные токи I_k₁, I_k₂, I_k₃.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными

ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов I_k₁, I_k₂, I_k₃ в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

E₁=I_k1(R₁+r₀₁+R₄)+I_k2R₄-I_k3(R₁+r₀₁)

E₂=I_k2(R₂+r₀₂+R₄+R₅)+I_k1R₄+I_k3(R₂+r₀₁)