Фильтры Баттерворта

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта n -го порядка характеризуется выражением

. (8.1)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта обладает следующими свойствами:

1.При любом порядке n значение АЧХ .

2.На частоте среза .

Рис. 8.1

АЧХ фильтра монотонно убывает с ростом частоты. По этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими характеристиками. На рис. 8.1 показаны графики амплитудно-частотных характеристик фильтров Баттерворта 3 и 5 порядков. Очевидно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируется АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Порядок передаточной функции n выбирают из условия обеспечения требуемого затухания в полосе задерживания на частоте . Модуль передаточной функции в полосе задерживания

.

Порядок передаточной функции определяется приближенной формулой

. (8.2)

Здесь – частота в полосе задерживания, на которой задана величина затухания. Значение n, полученное с помощью формулы (8.2), округляется до ближайшего целого, большего n.

Пример 8.1. Определить порядок фильтра Баттерворта, у которого значение АЧХ на частоте, равной , не превышает 0.01.

Решение. В соответствии с (8.2) . Округляя до ближайшего большего целого, получаем, что такое ослабление в полосе задерживания обеспечивает фильтр Баттерворта четвертого порядка.

Определяем координаты полюсов фильтра Баттерворта, полагая в (8.1) :

.

Приравняв полином знаменателя нулю, найдем, что полюсы фильтра Баттерворта с частотой среза расположены на окружности единичного радиуса на одинаковом угловом расстоянии друг от друга:

.

Каждая пара комплексных сопряженных полюсов образует множитель

.