Фильтры Чебышева

Квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева определяется выражением

. (8.3)

Здесь - полином Чебышева. Модуль передаточной функции фильтра Чебышева равен единице на тех частотах, где обращается в нуль. График амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева пятого порядка показан на рис. 8.2.

Перечислим свойства частотных характеристик фильтров Чебышева:

1. В полосе пропускания АЧХ имеет равноволновой характер. На интервале имеется n точек, в которых функция достигает максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного . Если n нечетно, , если n четно, .

2. Значение АЧХ фильтра Чебышева на частоте среза равно

.

3. При функция монотонно убывает и стремится к нулю.

4. Параметр определяет неравномерность АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания:

.

Рис. 8.2

Сравнение АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева показывает, что фильтр Чебышева обеспечивает большее ослабление в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта такого же порядка. Недостаток фильтров Чебышева заключается в том, что их фазочастотные характеристики в полосе пропускания значительно отличаются от линейных.

Для фильтров Баттерворта и Чебышева имеются подробные таблицы, в которых приведены координаты полюсов и коэффициенты передаточных функций различных порядков.

8.2. Пассивные LC -фильтры

LC -фильтры были первыми фильтрами, которые использовались в устройствах передачи сигналов.

Пассивный фильтр, реализующий характеристики Баттерворта или Чебышева, представляет лестничную LC -цепь, включенную между резистивным сопротивлением источника сигнала и нагрузкой (рис. 8.3). Элементы фильтра рассчитывают таким образом, чтобы обеспечить передачу максимальной мощности в полосе пропускания.

Рис. 8.3

С помощью лестничной LC -цепи можно реализовать только передаточные функции, нули передачи которых расположены на мнимой оси. Однако это не является серьезным ограничением, так как нули передачи частотно-селективных фильтров, как правило, расположены на мнимой оси, включая начало координат и бесконечность.

В простейшем случае нули передачи находятся в бесконечности. Таким свойством обладают передаточные функции фильтров нижних частот Баттерворта и Чебышева. Продольные ветви LC -цепи содержат индуктивности, а поперечные – емкости. Если нули передачи расположены в начале координат (фильтр верхних частот), то продольные ветви содержат емкостные элементы, а поперечные – индуктивные. Отличие фильтров Баттерворта и Чебышева в этом случае заключается только в разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе расчета. Количество реактивных элементов определяется порядком фильтра n.

Методы синтеза LC -фильтров хорошо разработаны. Существует обширная справочная литература, которая содержит данные о фильтрах различных порядков. Процедура расчета фильтра сводится к выбору типа и порядка фильтра.

Пассивные фильтры устойчивы, не требуют источников питания, имеют низкую чувствительность характеристик к изменениям номиналов элементов. Их основной недостаток при работе на частотах меньше 100 МГц – большие габариты и вес, обусловленные размерами индуктивных катушек.

В настоящее время во многих областях радиоэлектроники LC -фильтры почти вытеснены цифровыми и аналоговыми активными RC -фильтрами. Однако пассивные фильтры по-прежнему используются на частотах, превышающих 100 кГц.

Методы проектирования аналоговых фильтров с типовыми амплитудно-частотными характеристиками хорошо разработаны. Имеются многочисленные справочники, в которых приведены подробные таблицы с параметрами фильтров различных порядков. В табл. 8.1 и 8.2 приведены значения элементов нормированных фильтров Баттерворта и Чебышева с частотой среза 1 рад/с.

Таблица 8.1

Значения элементов фильтров Баттерворта

n	С 1	L 2	C 3	L 4	C 5	L 6	C 7	L 8	C 9
	1,4142	1,4142
	1,0000	2,0000	1,0000
	0,7654	1,8478	1,8478	0,7654
	0,6180	1,6180	2,0000	1,6180	0,6180
	0,5176	1,4142	1,9319	1,9319	1,4142	0,5176
	0,4450	1,2470	1,8019	2,0000	1,8019	1,2470	0,4450
	0,3902	1,1111	1,6629	1,9616	1,9616	1,6629	1,1111	0,3902
	0,3473	1,0000	1,5321	1,8794	2,0000	1,8794	1,5321	1,0000	0,3473

Таблица 8.2

Значения элементов фильтров Чебышева при Амакс = 1 дБ

n	Rl	C 1	L 2	C 3	L 4	C 5	L 6	C 7	L 8	C 9
	0,25	3,7779	0,3001
	1,00	2,0236	0,9941	2,0236
	0,25	4,5699	0,5428	5,3680	0,3406
	1,00	2,1349	1,0911	3,0009	1,0911	2,1349
	0,25	4,7366	0,5716	6,0240	0,5764	5,5353	0,3486
	1,00	2,1666	1,1115	3,0936	1,1735	3,0936	1,1115	2,1666
	0,25	4,7966	0,5803	6,1592	0,6005	6,1501	0,5836	5,5869	0,3515
	1,00	2,1797	1,1192	3,1214	1,1897	3,1746	1,1897	3,1214	1,1192	2,1797