Рекурсивные функции

Так как в исчислении все функции анонимны (без имен), то необходимо их вызов производить не по имени, а другим способом. Например, рассмотрим рекурсивную функцию, которая в качестве одного из аргументов имеет ссылку на себя:

а) - сложение всех целых чисел:

– если , то , иначе складываем (+) число с суммой для числа, меньшего на 1, чем , т.е. (1–) обозначает уменьшение на 1. Это была форма записи рекурсивной функции на языке Гильберта-Клини, а в форме абстракции: Осталось связать переменную со значением функции , чтобы сделать функцию анонимной. Это можно сделать с помощью специальной функции « комбинатор»:

Например, функция «» имеет бесконечное число «неподвижных» точек. Таким образом, в исчислении функция записывается так:

Проверим, например, должно быть равно 1.:

Определим «комбинатор» как

Проверим выполнение формы записи :

Чистое исчисление

Чистое исчисление получается при удалении констант и правил, так как в нем любые константы и функции можно построить атомарными термами, использующие только лишь переменные.

ПРИМЕРЫ:

а) ; б) ; в) .

Легко проверить, что выполняются следующие редукции:

Нумерация Черча: представлять композицией , т.е. , т.е. повторяется раз. Для каждого натурального положим: ,

. Тогда «сложение» чисел определяется выражением:

Проверка:

Определение: Говорят, что частичная функция с аргументами определима термом , когда терм редуцируется к терму , если значение определено, и не имеет нормальной формы, если не определено.