Модели типа «вход-выход»

Математические модели (1.1), (1.2) описывают взаимосвязи между переменными состояния системы, поэтому их называют внутренни­ми. Модели, отражающие зависимость между входными и выходны­ми сигналами системы, называют внешними.

Пусть рассматривается линейная система с одним входом и од­ним выходом, процессы в которой описываются неоднородным ли­нейным дифференциальным уравнением л-го порядка

(1 .7)

где u(t), u^(q)(t) — входной сигнал системы и q = 1, т его произ­водных; y(t), y^m(t) — выходной сигнал системы и к = 1, п его производных.

Применив к этому уравнению оператор дифференцирования Коши D = d/d/, получим операторное представление уравнения системы:

Запишем это представление в иной форме у = B(D)/A(D)u, где обо­значено

Выражение H(D) — B(D)/A(D) называют операторной передаточ­ной функцией системы, а уравнение

y(t) = H(D)u(t) (1.8)

операторной или внешней моделью системы.

Полином A(D) называют характеристическим многочленом сис­темы, его корни — полюсами или характеристическими числами си­стемы, а корни полинома B(D) — нулями системы.

Представление внешней модели в частотной области позволяет осуществить преобразование Лапласа. Пусть лапласовы преобразо­вания входного и выходного сигналов:

, тогда моделью системы оказывается выражение

Y(s) = H{s)U{s), (1.9)

полученное преобразованием уравнения (1 .7) при нулевых началь­ных условиях.

Выражение H(s) называют передаточной функцией системы.

В теории автоматического управления широко применяется операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. В операторной форме дифференциальные уравнения приобретают более простой вид, уменьшается объем записи, а при исследовании САУ во многих случаях сокращаются промежуточные математические преобразования.

Функции независимой переменной (обычно t)- x (t), y (t) в дифференциальных уравнениях заменяются их изображениями по Лапласу.

В изображениях по Лапласу операция дифференцирования обозначается следующим образом:

а интегрирования – обратной величиной:

Метод преобразования Лапласа применяется для упрощения решения систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Прямое преобразование заданной системы уравнений приводит к более простым уравнениям, которые являются уже не интегро-дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. Эта более простая система уравнений решается относительно изображения искомой функции, по которому затем отыскивается искомое решение заданной системы уравнений с помощью обратного преобразования Лапласа. Оба преобразования, прямое и обратное, на практике выполняются с помощью соответствующих таблиц.

то при нулевых начальных условиях это уравнение в операторной форме запишется так:

Передаточной функцией (в форме преобразований Лапласа) называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

При P=0 передаточная функция превращается в коэффициент усиления.

k= =