Интервальные оценки истинного значения

Рассмотренные ранее оценки результата измерения (), выраженного одним числом, называются точечными оценками.

Точечная оценка погрешности измерения не полная, поскольку S указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение x, но ничего не говорит о вероятности попадания x в этот интервал.

Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы x ₁, x ₂ называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности – доверительной вероятностью α:

α = Р (х _н ≤ х ≤ х _в) = 1– β, (1.21)

где х _н= – х ₁, х _в= + х ₂ – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; b – уровень значимости (β = Р (х _н > х > х _в) = 1– α).

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы . Выбираемое значение βдолжно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 £ β £ 0,1.

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01.

Доверительный интервал обычно выражают через относительную величину α в долях среднеквадратической погрешности, т.е.α = x / s. Например, при доверительном интервале x = s доверительная вероятность α = 0,68. Это значит, что 68% случайных погрешностей не будут превышать значения s. При x = 2s α = 0,95, при x = 2,5s α = 0,988, а при x = 3s α = 0,997. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3s до –3s, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3s.

Определение доверительных границ случайных погрешностей производится на основе вычисленного значения s с учетом заданной доверительной вероятности и числа наблюдений N. При этом предполагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Доверительные границы х определяются по уравнениям:

– нижняя граница, (1.22)

– верхняя граница, (1.23)

где - квантиль распределения Стьюдента для вероятности a или уровня значимости b = 1 – a и числа степеней свободы f = N – 1; величина находится по табл. П1.