Методические указания и контрольные задания к контрольной работе №1
Для направлений бакалавриата:
Лесное дело
Профиль:
Лесное хозяйство
Уфа 2012
00УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: доцент Авзалова З.Т.,
ассистент Чистякова С.В.
Рецензент: доцент кафедры физики Белобородова Н.Н.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
Порядок выполнения контрольных работ
К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующего теоретического материала по учебнику и лекциям, а также решения задач на практических занятиях.
При выполнении контрольных работ студент должен, руководствоваться следующими указаниями:
каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на передней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и дата ее отсылки в институт;
|
|
решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении;
все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения в задачах должны соответствовать указаниям на чертеже;
для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует оставлять на каждой странице поля;
после получения отрецензированной работы студент должен исправить в ней все ошибки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование. Неверно выполненные задачи или вся работа заново решаются в той же тетради, исправление небольших недочетов и ошибок приводится в конце работы. До экзамена необходимо исправить все ошибки и получить зачет. Работы, выполненные небрежно, несамостоятельно, или содержащие задачи не своего варианта, возвращаются без проверки.
В период экзаменационной сессии, на зачете студент обязан представить зачтенную контрольную работу и по требованию преподавателя дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует двум последним цифрам i и j его учебного шифра и определяется по схеме данной преподавателем.
Литература.
1. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие./ Под редакцией А.Н. Тихонова. -2-е издание, стереотип.- М.: Высш. шк., 1994.-479с.
|
|
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие.-2-е издание, испр.-М.: Высш. шк., 2000.-304с.
3. Зайцев И.А. Высшая математика. Учеб. для с/х вузов. 2-е издание, испр.и доп.-М.: Высш. шк., 1998.-409 с.
1 Решить заданную систему уравнений методом Крамера
1) , 2) 3) ,
4) , 5) , 6) ,
7) , 8) , 9) ,
10) , 11) , 12) ,
13) , 14) , 15) ,
16) , 17) , 18) ,
19) , 20) .
Решение типовой задачи
Решим систему уравнений с помощью формул Крамера.
Для этого вычислим главный определитель системы , который составляется из коэффициентов при неизвестных и вычислим его по правилу «треугольников»:
Так как =-20 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители , которые получаются из главного путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец свободных членов.
Тогда неизвестные x, y, z по формулам Крамера находятся следующим образом:
х= , у= ; z= .
Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:
,
Т.к. все три уравнения обращаются в верные равенства, то решение найдено правильно.
Ответ: (0;-1;-2)
2. В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. Сделать чертеж.
N зад. | А | В | С | N зад. | А | В | С |
(-7;6) | (2;-6) | (7;4) | (10;8) | (-2;-1) | (8;-6) | ||
(-5;7) | (4;-5) | (9;5) | (7;9) | (-5;0) | (5;-5) | ||
(-3;5) | (6;-7) | (11;3) | (9;10) | (-3;1) | (7;-4) | ||
(-6;10) | (3;-2) | (8;8) | (11;2) | (-1;-7) | (9;-12) | ||
(-4;8) | (5;-4) | (10;6) | (6;7) | (-6;-2) | (4;-7) | ||
(-8;9) | (1;-3) | (6;7) | (2;3) | (-10;-6) | (0;-11) | ||
(-9;12) | (0;0) | (5;10) | (5;4) | (-7;-5) | (3;-10) | ||
(-2;11) | (7;-1) | (12;9) | (3;6) | (-9;-3) | (1;-8) | ||
(-1;4) | (8;-8) | (13;2) | (8;5) | (-4;-4) | (6;-9) | ||
(1;3) | (10;-9) | (15;1) | (4;11) | (-8;2) | (2;-3) |
Решение типовой задачи
Даны вершины треугольника АВС А(-2;5); В(10;-4); С(8;10). Требуется найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину.
1)Расстояние между двумя точками А (х ; );В (х у определяется по формуле d= (1),
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ: d= = = =15.
2)Уравнение прямой, проходящей через заданные точки А(х ;у ) и В(х ;у ) имеет вид: . (2)
Подставляя в (2) координаты А и В получим уравнение прямой (АВ):
4у-20=-3х-6; 3х+4у-14=0- общее уравнение прямой (АВ).
Угловой коэффициент прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у=kx+b.
4у= -3х+14, , т.е.
Подставляя в (2) координаты А и С получим уравнение прямой (АС):
х+2=2у-10,
х-2у+12=0- общее уравнение прямой (АС),
3) Требуется найти угол А между прямыми (АВ) и (АС), подставим угловые коэффициенты и в формулу:
(3),
, следовательно, А=arctg2 .
4)AD- медиана, поэтому точка D делит отрезок ВС пополам. Для вычисления координат середины отрезка воспользуемся следующими формулами:
(4),
в которые подставим координаты точек В и С:
; у = то есть D(9;3).
Подставив в формулу (2) координаты точек А и D получим уравнение прямой (AD)- медианы:
(AD): 11у-55=-2х-4;
(AD): 2х+11у-51=0.
5) Высота СЕ перпендикулярна стороне АВ. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением: k , то есть k .
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид: (5).
Подставив в (5) координаты точки С и угловой коэффициент k получаем
(CE): у-10= 3у-30=4х-32; 4х-3у=2.
Чтобы найти длину (СЕ), определим координаты точки Е- точки пересечения высоты (СЕ) и прямой (АВ). Для этого решаем совместно систему уравнений (АВ) и (СЕ):
|
|
. Умножим первое уравнение на 4, а второе на- 3, получим , сложив эти два уравнения, получим 25y=50, т.е. y=2. Найдём x, подставив y=2 в первое из исходных уравнений: 3x+8-14=0, откуда x=2.
Следовательно, Е(2;2). Длина высоты СЕ определяется по формуле (1):
d= = = =10.
3 Найти указанные пределы:
1. : а) х , б) х 1, в) х .
2. : а) х , б) х , в) х .
3. : а) х , б) х , в) х .
4. : а) х , б) х , в) х .
5. : а) х , б) х , в) х .
6. : а) х , б) х , в) х .
7. : а) х , б) х , в) х .
8. : а) х , б) х , в) х .
9. : а) х , б) х , в) х .
10. : а) х , б) х , в) х .
11. : а) х , б) х , в) х .
12. : а) х , б) х , в) х .
13. : а) х , б) х , в) х .
14. : а) х , б) х , в) х .
15. : а) х , б) х , в) х .
16. : а) х , б) х , в) х .
17. : а) х , б) х , в) х .
18. : а) х , б) х , в) х .
19. : а) х , б) х , в) х .
20. : а) х , б) х , в) х .
Решение типовых примеров
1) ;
2) .
При подстановке вместо переменной x её предельного значения 3, получается неопределенность вида . Для избавления от этого вида неопределенности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой,где и -корни квадратного трехчлена
У нас т.к. дискриминант квадратного трехчлена D=9-4 =81, а следовательно,
По аналогии .
Теперь условие задачи можно переписать в другом виде и продолжить решение
3) .
Мы получили неопределенность вида , избавиться от которой можно делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень переменной, т.е. на .
.
4 Найти производные заданных функций
1. а) у= ; б) у=cos ln8x;
2. а)у= ; б) у=ln arcsin3x;
3. а) у= б) у=arctg ln5x;
4. а) у= б) у=ln cos4x;
5. а) у= б) у=cos ln7x;
6. а) у= б) у= ln sin7x;
7. а) у= б) у=arctg ln5x;
8. а) у= б) у=ln arcsin2x;
9. а) у= б) у=sin ln7x;
10. а) у= б) у=tg ln7x;
11. а) у= б) у=ln cos6x;
12. а) у= б) у=ln arctg2x;
13. а) у= б) у=cos ln(5x+1);
14. а) у= б) у=arccos ln4x;
15. а) у= б) у=arctg ln5x;
16. а) у= ; б) у=ln sin(6x+1);
17. а) у= ; б) у=sin ln(1-2x);
18. а) у= ; б) у=ln arccos5x;
19. а) у= ; б) у=arcsin ln(2x-1);
20. а) у= ; б) у=ln arccos7x.
При решении всех последующих задач кроме таблиц производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.
|
|
1. ,
2. ,
3. .
4. Если задана сложная функция y=f(u), где u=z(x), т.е. y=f(z(x)) и каждая из функций y и u дифференцируема по своему аргументу, то .
Решение типового примера
а) у= .
Если в знаменателе дроби стоит степень какого-либо числа, то эту дробь можно представить как отрицательную степень числа, например , так же , и т.д. Подкоренное выражение можно записать в виде степени, показателем которой является дробь: , и т.д. Поэтому
,
y = = = = = .
б) у=ln arcsin6x
y = (ln arcsin6x) = =
= .
5 Исследовать данную функцию (т.е. найти точки экстремума и перегиба, интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости графика функции) и построить ее графики.
1. y=
2. y=
3. y=
4. y=
5. y=
6. y=
7.y=
8. y=
9. y=
10.y=
11. y=
12. y=
13. y=
14. y=
15. y=
16. y=
17. y=
18. y=
19. y=
20. y=
Решение типовой задачи
Исследовать на экстремум функцию и определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика. Построить график.
Решение.
Чтобы найти точки экстремума, вычисляем производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение:
Корни уравнения - критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: .
Производную можно представить так: .
Из последнего равенства видно, что в первом интервале , во втором и в третьем интервале . Следовательно, в первом и третьем интервалах функция возрастает, а во втором убывает. Так как в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. А в силу того, что в точке производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум в этой точке. Вычислим значение функции в этих точках: .
Точка B(6;-8)- точка минимума.
Точка A(-2;13 )- точка максимума.
Чтобы найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости, находим вторую производную, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение.
x-2=0; x=2 – критическая точка второго рода. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: Как видно, в первом случае , во втором - Следовательно, в первом интервале график функции – выпуклый, во втором – вогнутый. Так как производная при переходе через точку х=2 меняет свой знак, то х=2 есть абсцисса точки перегиба графика. Вычисляем ординату этой точки:
;
Таким образом, точка – точка перегиба графика функции.
По результатам исследования строим график.
6 В задачах 1-20 требуется найти указанные неопределенные интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.