Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b: О B=а+b (см. рис. 2)
.
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелoграмма (см. рис. 3).
На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.
Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а (см. рис. 5).
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b одна направленная диагональ является суммой векторов а и b, адругая — разностью (см. рис. 6).
Можно вычитать векторы по правилу: а - b = а + (-b), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору b.
Произведением вектора а на скаляр (число) λ называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направлениевектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:
|
|
1) если b=λ * а, то b|| а. Наоборот, если b || а, ( а¹0), то при некотором λ верно равенство b = λа;
2) всегда а =|а | • а -о, т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. а+b=b+а
2. (а +b) +с=а + (b +с),
3. λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а,
4. (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а,
5. λ • (а +b) =λ •а+λ •b.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях свектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.