2015-05-20
765
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки
М, обозначается r, т. е. ОМ= r. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора
Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z).
Координаты вектора Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек A(x1; y1; z1) и В(x2;у2; z2). Имеем (см. рис. 13):
AB=OB-OA=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=(x2 - x1)i+(y2 - y1)j+(z2 - z1)k
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2-х1;у2-у1; z2- z1).
Лекция 4
Если векторы заданы своими координатами в базисе e 1, e 2, e 3, то действия над ними выполняются по следующим правилам:
1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
(x 1; y 1; z 1) + (x 2; y 2; z 2) = (x 1 + x 2; y 1 + y 2; z 1 + z 2).
В самом деле, для двух векторов (x 1; y 1; z 1) и (x 2; y 2; z 2) имеем
(x 1; y 1; z 1) + (x 2; y 2; z 2) =
= (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3) + (x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3) =
|
|
|
= (x 1 + x 2) e 1 + (y 1 + y 2) e 2 + (z 1 + z 2) e 3 =
= (x 1 + x 2; y 1 + y 2; z 1 + z 2).
Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.
2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
(x 1; y 1; z 1) — (x 2; y 2; z 2) = (x 1 — x 2; y 1 — y 2; z 1 — z 2)
Доказательство проведите самостоятельно.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
В самом деле, для вектора (x 1; y 1; z 1) и числа λ, имеем
λ (x 1; y 1; z 1) = λ (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3) =
= (λ x 1) e 1+ (λ y 1) e 2 + (λ z 1) e 3 = (λ x 1; λ y 1; λ z 1)
3адача. По координатам векторов а = (—4; 6; 0), b = (1; —1; 7) найти координаты векторов а + b; а — b; 5 а; 3 b — a / 2.
Используя правила 1—3, получаем:
а + b = (—3;5;7); а — b = (—5; 7; — 7);
5 а = (—20; 30; 0); 3 b — a / 2 = (5; — 6; 21).
