Напомним определение перпендикулярных векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.
Определение.
Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам ( радиан).
Теорема.
Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .
Доказательство.
Пусть векторы и перпендикулярны. Докажем выполнение равенства .
По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы и перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, , что и требовалось доказать.
Переходим ко второй части доказательства.
Теперь считаем, что . Докажем, что векторы и перпендикулярны.
Так как векторы и ненулевые, то из равенства следует, что . Таким образом, косинус угла между векторами и равен нулю, следовательно, угол равен , что указывает на перпендикулярность векторов и .
|
|
Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.
Как же выглядит условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме?
В разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что для двух векторов с заданными координатами и на плоскости справедливо равенство , а для двух векторов и в пространстве . Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид на плоскости, а в трехмерном пространстве .
Рассмотрим применение полученных условий на практике, для этого разберем решение нескольких примеров.
Пример.
Перпендикулярны ли векторы .
Решение.
Вычислим их скалярное произведение по координатам . Следовательно, условие перпендикулярности двух векторов на плоскости выполнено, то есть, они перпендикулярны.
Ответ:
да, векторы перпендикулярны.
Пример.
Перпендикулярны ли векторы и , где - координатные векторы прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве.
Решение.
Векторы и имеют соответственно координаты и (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат). Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов:
Так как , то векторы и не перпендикулярны.
Ответ:
нет, не перпендикулярны.
Пример.
Найдите значение , при котором векторы и перпендикулярны.
Решение.
Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов в пространстве в координатной форме
Ответ:
векторы перпендикулярны при .
В некоторых случаях возможно ответить на вопрос о перпендикулярности двух векторов без использования необходимого и достаточного условия перпендикулярности. Например, когда известны длины всех сторон треугольника, построенного на двух векторах, то можно найти угол между векторами и посмотреть, равен ли он девяноста градусам.
|
|
Пример.
Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС равны соответственно 8, 6 и 10 см. Убедитесь, что векторы и перпендикулярны.
Решение.
Если векторы и перпендикулярны, то треугольник АВС – прямоугольный и его гипотенузой является сторона ВС. Тогда по теореме Пифагора должно выполняться равенство . Проверим его справедливость: .
Следовательно, АВ и АС – катеты прямоугольного треугольника АВС, поэтому, векторы и перпендикулярны.