Геометрическое подобие

Геометрическими величинами называются величины, пропорциональные произведению нескольких (возможно, одной) длин. Геометрическая величина имеет вид

,

где – рассматриваемая геометрическая величина; –коэффициент пропорциональности; – длина; – целое число.

К геометрическим величинам относятся: длины ; площади ; объёмы ; статические моменты длины ; статические моменты площади ; статические моменты объёма ; моменты инерции длины ; моменты инерции площади ; моменты инерции объёма и т. п.

Обозначим систему тел и ограниченный этими телами поток жидкости в одном явлении через , а в другом – через . Пусть в рассматриваемых явлениях жидкость движется относительно систем отсчета и соответственно. Эти системы неподвижны относительно некоторой основной системы отсчета. Тела, ограничивающие потоки жидкости, в общем случае могут двигаться относи­тельно тех же систем отсчета.

Обозначим через систему, состоящую из системы отсчета и системы , а через – систему, состоящую из системы отсчета и системы .

Две системы и называются геометрически подобными, если между точками этих систем можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы соответственные отрезки находились в постоянном отношении:

.

(2.1)

Если две системы (см. рис. 1) гео­метрически подобны, то

,

откуда следует, что углы между соответственными отрезками равны и какая-либо фигура, составленная из точек первой системы, подобна геометрической фигуре, образованной точками второй системы.

Исходя из утверждения о том, что в геометрически подобных телах любая безразмерная комбинация, составленная из размерных величин, не изменяется, можно записать следующее равенство:

,

где и – соответственные площади подобных систем.

Из этого уравнения получим

.

Таким образом, в геометрически подобных телах соответственные площади относятся как квадраты линейных размеров.

Аналогичным образом для отношений других геометрических величин в геометрически подобных телах находят следующие результаты:

отношение длин – ;

отношение площадей – ;

отношение объёмов – ;

отношение статических моментов длины – ;

отношение статических моментов площади – ;

отношение статических моментов объёма – ;

отношение моментов инерции длины – ;

отношение моментов инерции площади – ;

отношение моментов инерции объёма – .