V. Арифметическая и геометрическая прогрессия, проценты

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел N, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом , т.е.

Формула -ого члена арифметической прогрессии:

где - первый член; - разность прогрессии, .- общий член.

При любом имеем:

Таким образом (при ),

или ,

т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Формула для общего члена арифметической прогрессии N связывает четыре величины: , , и . Если три из них заданы, то из этой формулы можно найти четвертую величину. Приведем соответствующие формулы нахождения , и :

; ; .

Сумма первых членов арифметической прогрессии:

или .

При арифметическая прогрессия является монотонно возрастающей, а при монотонно убывающей.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел N, у которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число , т.е.

, N.

Число называется знаменателем геометрической прогресии, - первым членом; .- общим членом.

Любой член прогрессии можно выразить через соседние, как их среднее геометрическое: , где .

Сумма первых членов геометрической прогрессии:

, если .

Для геометрической прогрессии со знаменателем имеют место следующие свойства монотонности:

- прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

а) и

б) и

- прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

а) и

б) и

- если , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами – противоположный ему знак. Знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.