Рассмотрим массу газа , заключенную в движущемся объеме . Если при движении данной массы газа изменяется его давление, то изменяется объем , aследовательно, и плотность .
Сжимаемость газа характеризуется относительным изменением объема или плотности при изменении давления. Если два гидромеханических явления подобны, то относительные изменения плотности в соответственных точках должны быть одинаковы, т. е.
. | (3.11) |
С другой стороны, степень изменения плотности при изменении давления характеризуется величиной местной скорости звука
или
.
По аналогии
.
Подставим эти выражения для в равенство (3.11):
,
отсюда
.
Поэтому выражение для сил давления можно записать в виде
. | (3.12) |
Для отношения сил давления, действующих на соответственные элементы двух подобных гидромеханических явлений, согласно равенствам (2.13) и (2.14) имеем
. | (3.13) |
Сравнивая выражения (3.12) и (3.13), получаем
. | (3.14) |
После сокращения
.
Перепишем это выражение следующим образом:
.
Введя числа и , получаем
или
.
Итак, при соблюдении подобия по сжимаемости газа справедливо равенство чисел М в соответственных точках.
Следовательно, необходимым условием подобия по сжимаемости газа является равенство чисел М, подсчитанных по параметрам, определяющим данные явления,
.
Таким образом,
.
Число есть критерий подобия по сжимаемости газа.
Полученное число – важный критерий подобия, по которому аэродинамику разделяют по скоростям полёта. В несжимаемой жидкости число Маха равно нулю, так как в этой модели жидкости все возмущения распространяются мгновенно, и скорость звука равна бесконечности. Все уравнения, характеризующие движение несжимаемой жидкости, могут быть получены из уравнений для сжимаемой жидкости, если всюду положить число Маха равным нулю. Атмосферный воздух – сжимаемый газ, но при малых скоростях полёта он успевает растекаться перед обтекаемым телом, поэтому отдельные жидкие частицы не изменяют свой объём. Следовательно, в данном случае сжимаемость воздуха не проявляется и на этих режимах полёта он считается несжимаемым газом. В рассматриваемом диапазоне скоростей полагают, что число Маха равно нулю, но так считают не потому, что скорость потока всюду равна нулю, а потому, что скорость звука очень велика по сравнению со скоростью потока. В соответствии с изложенным аэродинамику по скоростям разделяют так:
1) – малые дозвуковые скорости (несжимаемый поток);
2) – большие дозвуковые скорости;
3) – трансзвуковые скорости;
4) – сверхзвуковые скорости;
5) – гиперзвуковые скорости.
Диапазон больших дозвуковых скоростей отличается от первого диапазона тем, что в нём проявляется сжимаемость газа. Течение в этом диапазоне всюду дозвуковое.
В диапазоне трансзвуковых скоростей имеются отдельные области течения, в которых скорость течения дозвуковая, и области, где скорость сверхзвуковая.
В диапазоне сверхзвуковых скоростей всюду сверхзвуковая скорость, но газ можно считать сплошной средой.
В диапазоне гиперзвуковых скоростей гипотеза сплошности не справедлива, поэтому необходимо учитывать молекулярное строение газа.
В диапазоне больших дозвуковых скоростей в случае, когда обтекаемое тело вносит малые возмущения в поток (такая ситуация возникает при малых углах атаки для тонких слабоизогнутых тел), коэффициент давления на поверхности тела может быть определён по формуле Прандтля
.
Здесь – коэффициент давления в некоторой точке поверхности тела при его обтекании сжимаемым потоком газа с числом Маха набегающего потока, равным ; – коэффициент давления в той же точке поверхности тела при его обтекании несжимаемым потоком газа.
В соответствии с формулой Прандтля аэродинамические коэффициенты профиля крыла в сжимаемом потоке газа выражаются через аналогичные коэффициенты в несжимаемом потоке:
, , , .
Эти выражения позволяют при экспериментальном определении аэродинамических характеристик тела в сжимаемом потоке газа отказаться от дорогостоящего эксперимента в сжимаемом потоке. В этом случае вначале находят искомые характеристики в аэродинамической трубе малых дозвуковых скоростей (несжимаемый поток) и по ним в соответствии с приведенными выше формулами находят характеристики тела в сжимаемом потоке. Указанное обстоятельство имеет важное значение, так как, например, в Украине аэродинамических труб малых дозвуковых скоростей достаточно много, а установка, позволяющая выполнять опыты в сжимаемом потоке, всего одна – это сверхзвуковая аэродинамическая труба Т-6, имеющаяся в Национальном аэрокосмическом университете им. Н.Е. Жуковского «ХАИ».
Число Маха определяет аэродинамические характеристики летательных аппаратов во всём диапазоне скоростей полёта.
На рис. 11 изображена зависимость производной летательного аппарата и относительной координаты его фокуса от числа Маха. Аналогичные зависимости существуют для всех аэродинамических коэффициентов, которые определяются только силами давления.