Лабораторная работа №5. Тема: Приближенное решение определенных интегралов

Тема: Приближенное решение определенных интегралов.

Выполнение задания:

Вычисляю определенный интеграл I = , используя первую, вторую и усложненную формулы прямоугольников.

Далее проставляю отрезки интеграции a = 0.6 и b = 1.6 (A4:B4), количество отрезков разбиения n = 10 (С4), формулу расчета шага интегрирования h (D4, рисунок 1).

В ячейках В6:С6 вычисляю значения подынтегральной функции точках начала и конца отрезка интегрирования. Таким образом получаю у₀ = у(а), у₀ = у(b) (рисунок 1).

Рисунок 1 - Отрезки интеграции, количество отрезков

разбиения и вычисление подынтегральной функции.

Далее заполняю блоки А8:В19. В ячейке В8 задаю ссылку на ячейку А4, в ячейке В9 при расчете х_i+1 = x_i + h, применяю функцию "ЕСЛИ" (рисунок 2) для вывода надписи "Стоп" при достижении точки b.

Рисунок 2 - Расчет х_i+1 = x_i + h с помощью "ЕСЛИ" для вывода надписи

"Стоп" при достижении точки b.

Далее ввожу в ячейку С8 подынтегральную функцию ,после этого распространяю введенную функцию вниз до ячейки С18. в столбце D накапливается сумма . В виду того, что в первой формуле прямоугольников не используется значение y_n, а во второй - у₀, записываю формулы в виде:

1-я формула: ;

2-я формула: .

Эти формулы я реализую в столбцах E и F. В итоге в ячейках Е10 и F10 появляются вычисленные интегралы по этим двум формулам (рисунок 3).

Рисунок 3 - расчет частных сумм и определенных интегралов

с помощью первой и второй формулы прямоугольников.

В столбцах G-J реализовую усложненную формулу прямоугольников следующим образом.

С помощью "ЕСЛИ" (рисунок 4) рассчитываю значение середин x_i+1/2 элементарных отрезков. Надпись "Стоп" выдается после получения x_n-1/2.

Рисунок 4 - Расчет значения середин элементарных отрезков.

В блоке Н8:Н17 вычисляю значения подынтегральной функции при соответствующих значениях . В столбце I накапливается сумма , а значение интеграла выдается в столбце J с пятью десятичными знаками. Полностью рассчитанная таблица приведена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Окончательная таблица с рассчитанными значениями

интегралов с помощью формул прямоугольников.

Теперь вычисляю определенный интеграл I = с помощью формулы трапеций.

Перехожу в новый лист и в этом листе ввожу исходные данные (рисунок 6): отрезок интегрирования (А4:В4), количество отрезков разбиения (С4), формулу расчета интегрирования h (D4).

Рисунок 6 - Исходные данные для расчета

определенного интеграла с помощью формулы трапеций.

В ячейках В6:С6 вычисляю значения , в ячейке D6 - значение . Далее заполняю блоки для х_i (В8:В18), используя функцию "ЕСЛИ" (рисунок 7). С помощью этой функции будет выводится надпись "Стоп" при достижении точки b.

В ячейку С8 ввожу подынтегральное выражение у(х) = и распространяю до ячейки С18.

Рисунок 7 - Использование функции "ЕСЛИ" для расчета х_i.

В столбце D накапливается сумма ё . Далее представляю формулу трапеций в виде:

Данную формулу реализую в столбце Е (с помощью функции "ЕСЛИ", рисунок 8), причем значение интеграла выдается с пятью знаками после запятой. Инт

Окончательная таблица имеет следующий вид:

Рисунок 8 - Реализация формулы трапеций с помощью функции "ЕСЛИ".

Теперь вычисляю определенный интеграл I = используя формулу Симпсона.

Ввожу исходные данные: отрезок интегрирования (А4:В4), количество отрезков разбиения (С4), формулу в ячейку D4 (рисунок 9), которая с помощью функции "ЕСЛИ" (рисунок 10) предупредит об ошибке при задании нечетного n.

Рисунок 9 - Исходные данные для вычисления интеграла

с помощью формулы Симпсона.

Рисунок 10 - Предупреждение об ошибке, если n задано нечетным числом.

Далее вычисляю значение у_n = у(b) в ячейке В6. После этого заполняю ячейки В8:В19, где в ячейке В9 использую функцию "ЕСЛИ" (рисунок 11) для вывода надписи "Стоп" при достижении точки b, после чего распространяю вниз до появления надписи "Стоп".

Рисунок 11 - Нахождение X_i с помощью "ЕСЛИ".

После этого ввожу подынтегральную функцию у(х) = в ячейку С8 для нахождения У_i и распространяю до ячейки С18. Окончательно эта часть таблицы имеет следующий вид:

При вычислении частных сумм в столбце D необходимо учесть, что значения подынтегральной функции при четном n умножаются на 2, а при нечетном - на 4, поэтому для определения нечетности или четности индекса, используем формулу ОСТАТ (n; 2) (указанная формула выдает значение остатка при делении на 2). Эта формула имеет вид:

Значение интеграла определяю в ячейке Е с помощью функции " ЕСЛИ" (рисунок 12) и растягиваю до появления рассчитанного значения интеграла.

Рисунок 12 - Вычисление значения интеграла с помощью

функции "ЕСЛИ".

Окончательная таблица имеет следующий вид:

Вывод: В процессе выполнения лабораторной работы вычислил определенный интеграл I = , используя первую, вторую и усложненную формулы прямоугольников. Также вычислял заданный интеграл с помощью формул трапеций и Симпсона.