Теоретические сведения. Идеальный газ описывается уравнением менделеева-клапейрона

Идеальный газ описывается уравнением Менделеева-Клапейрона

(4.1)

которое связывает макропараметры газа – давление p, объем V и температуру T. Если учесть, что масса газа m равна произведению числа молекул N в данном объеме V на массу одной молекулы m ₀,

(4.2)

а масса одного моля

(4.3)

где N _A - число Авогадро; то уравнение (4.1) принимает вид:

(4.4)

где – количество молекул в единице объема, постоянная Больцмана ( Дж/К)

Эти уравнения, однако, не содержат физических величин, характеризующих свойства молекул, микропараметры газа (массу молекулы m ₀, среднюю квадратичную скорость или кинетическую энергию молекулы E). В молекулярно-кинетической теории газа выводится основное уравнение молекулярно-кинетической теории, связывающее микро- и макропараметры газа:

(4.5)

где E - средняя кинетическая энергия молекул. Если сравнить(4.5) и (4.4), то получим или

(4.6)

Эта формула справедлива для одноатомной молекулы с тремя степенями свободы, а в общем случае , где i - количество степеней свободы. Из (4.6) можно определить среднюю квадратичную скорость молекулы

откуда

(4.7)

Важными микропараметрами газа является эффективный диаметр молекул d и средняя длина свободного пробега – расстояние, которое пролетает молекула, двигаясь прямолинейно между последовательными столкновениями. Последняя величина может быть найдена как среднее арифметическое расстояний между соседними столкновениями (рис. 4.1).

Рисунок 4.1 – Схема столкновений молекул

Если за одну секунду молекула претерпевает Z столкновений, то

а пройденный при этом путь , тогда

(4.8)

Число столкновений Z в секунду равно числу молекул, попавших внутрь ломаной трубки радиусом, равным диаметру молекул d, причем заломы ее соответствуют точкам столкновений молекул (рис 4.2). Площадь сечения этой трубки πd², а длина ее при t =1c равна . Тогда ее объем образованный за 1 с, будет πd² , а количество молекул, попавших внутрь и претерпевших столкновения с новой рассматриваемой центральной молекулой, равно . Однако с учетом движения всех молекул это число увеличивается в среднем в раз и действительное значение

(4.9)

Подставив (4.9) в (4.8), получим

(4.10)

а используя (4.4)

(4.11)

то есть ~ .Таким образом, с уменьшением давления p средняя длина свободного пробега увеличивается и при некотором давлении p для данного газа станет соизмеримой с размерами l сосуда, в котором находится газ, то есть ~ l.

Рисунок 4.2 – Схема для расчета числа столкновений Z молекул за секунду

В этом случае молекула может пролететь от одной стенки сосуда до другой без соприкосновения с другими молекулами; такое состояние газа в физике называют состоянием среднего вакуума, например, при давлении p 1,5·10 ^-4 мм рт.ст. и размерах сосуды l 1м будем иметь средний вакуум. Если >> l, то говорят о высоком вакууме, а при < l – о низком.

Из формулы (4.11) можно определить , зная d и p, однако определение опытным путем d представляет известные трудности, и в данной работе мы сначала определяем из формулы связывающей коэффициент вязкости η, плотность газа ρ, и .

(4.12)

Это уравнение получается при рассмотрении обмена количеством движения между движущимися слоями газа. Из (4.1) получим, что

и окончательно, используя (4.7) и (4.12), получим

(4.13)

Из формулы Пуазейля для объема V газа, который вытекает из трубки длиной x и радиусом r за время τ под действием разности давлений на концах трубки Δ p, можно выразить

(4.14)