Задание 2. Определение момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы

Вывод расчетной формулы

Рассмотрим тело вращения, у которого на шкив может наматываться нить с грузом массой m на конце (рис. 11). Груз под действием силы тяжести может опускаться, приводя во вращение тело. После того, как груз от отметки h ₀опустится на полную длину нити до отметки h ₁, тело, вращаясь по инерции, поднимет груз снова на некоторую высоту до отметки h ₂.

Рис.11.

К выводу расчетной формулы

В процессе движения часть механической энергии системы тело-груз расходуется на работу против тормозящей силы и, следовательно, превращается во внутреннюю энергию системы и окружающего воздуха, которые нагреваются. Из этого следует, что тело поднимет груз на высоту меньшую начальной, то есть отметка h ₂всегда будет расположена ниже отметки h ₀. Тормозящая сила складывается из силы трения в подшипниках и из силы трения о воздух при движении тела и груза.

Для оценки момента тормозящей силы воспользуемся энергетическими соотношениями. Поскольку силы трения являются диссипативными, то работа тормозящей силы А _Тпри переходе системы тело-груз из начального состояния в конечное равна

(33)

где - механическая энергия системы «тело-груз» в начальном состоянии; - механическая энергия системы «тело-груз» в конечном состоянии.

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда система покоится, кинетическая энергия равна нулю и, следовательно, механическая энергия становится равной только потенциальной энергии системы. Такие состояния системы возникают в начальный момент времени, когда груз находится на отметке h₀, и в тот момент, когда, спустившись вниз, груз за счет вращения тела поднимается до отметки h₂. Если принять, что на высоте потенциальная энергия груза равна нулю, то приращение механической энергии для выбранных начального и конечного состояний системы равно

(34)

где h₀₁ - расстояние между отметками h₀ и h ₁;

h₂₁ - расстояние между отметками h₂ и h₁.

Будем считать, что момент тормозящей силы в основном связан с вращательным движением тела, т. е. тормозящей силой, действующей на груз, пренебрежем. Тогда элементарная работа момента тормозящей силы равна скалярному произведению где - вектор момента тормозящей силы; - вектор бесконечно малого углового перемещения тела. Оба вектора и направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны.

Следовательно, .

Полная работа момента тормозящей силы, если предположить, что он постоянен, тогда равна

(35)

где φ₀₂ - угол поворота тела вокруг оси при переходе системы из начального состояния в конечное (груз при этом перемещается от отметки h₀ до отметки h₂.

При движении груза вниз от отметки h₀ до h ₁отметки со шкива сматывается нить длиной . Учитывая, что длина окружности шкива равна 2 πr и каждый оборот шкива соответствует углу 2π радиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз:

радиан

(36)

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке h₀, оно повернется на угол радиан.

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки h₀ до отметки h₂, равен

радиан.

(37)

Подставляя (34) и (35) в (33) найдем

= .

Отсюда, используя (37), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы:

(38)

Рассмотрим систему «тело-груз» в начальный момент времени, когда груз находится на отметке h₀, а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустился до нижней отметки h₁, соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (33).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

(39)

где - момент тормозящей силы (38); - угол поворота тела, соответствующий перемещению груза ототметки h₀ до h₁ (36).

Начальная механическая энергия системы «тело-груз» равна

(40)

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энергии поступательного движения груза в момент прохождения им отметки h₁:

(41)

где I - момент инерции тела; ω₁ – угловая скорость вращения тела в момент времени t₁; υ₁ – скорость поступательного движения груза в момент времени t₁.

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки h₁, тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Предполагая, что движение системы является равноускоренным, для скорости груза на отметке h₁ получаем