Задание 2. Найти корни кубического уравнения

Найти корни кубического уравнения

(1)

а) Пусть требуется найти решение с помощью методов символьной математики.

Открываем рабочий лист и записываем многочлен из уравнения (1)

Выделяем в этом многочлене в любом члене один символ – переменную – путем перетаскивания курсора. Открываем меню "Символ", подменю "Переменные" (Variable), щелчок по опции "Вычислить".

На рабочем листе появляется результат, записанный в форме вектора

б) Решение путем обращения к встроенной функции.

Вновь записываем многочлен из уравнения (1):

Выделяем в этом многочлене в любом члене один символ переменной – путем протаскивания курсора, например, у затемняем . Записываем вектор коэффициентов многочлена, для чего открываем меню "Символ", щелчок по опции "Коэффициенты" (Polynomial Coefficients).

Перед вектором вставляем его имя . Получаем результат:

Следует отметить, что при отсутствии какого-либо члена, соответствующий ему коэффициент принимается равным 0.

Обращаемся к пиктограмме "Встроенная функция f(x)" на второй строке текстового окна – стандартной линейке. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе "Категория функций" выбираем строку с надписью "Решение", а в разделе "Название функции" - polyroots (корни полинома).

После нажатия на кнопку "ОК" или "Вставить" на рабочем листе появляется название данной функции В скобки вписываем имя вектора коэффициентов V и вводим знак "=" После ввода знака равенства получаем результат в виде вектора:

Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню "Формат", полменю "Результат" и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку (check-up) полученных результатов. Для этого последовательно при каждом из полученных значений корня х, (переносим их методом копирования) вычисляем значение многочлена F(x). Близость к нулю действительной и мнимой частей Г(х) указывает на правильность полученных результатов

в) Записать произвольно любое алгебраическое уравнение третьей степени и найти его корни двумя методами.

4.3 Изучение способов определения корней трансцендентных уравнений.

В среде MathCAD возможны два способа нахождения корней трансцендентных уравнений:

· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

· с помощью встроенной функции root в подменю f(x) меню «Вставка» согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на примере нахождения корней уравнения:

Общим для нахождения корней является только графический метод, состоящий в построении графика функции F(x).

Точки пересечения построенного графика с осью абсцисс и есть искомые действительные корни уравнения.

Поскольку неизвестно решение (значения х, при которых F(x) =0), то строим его график с целью приблизительного определения искомого действительного решения.

х:= -10 … +10

Рис. 4.3.1 Графическое решение

Из графика видно, что это решение, определяемое как точка пересечения графика с осью абсцисс, лежит в промежутке значений х = 2…3.

Решение по правилу 6

Записываем многочлен из уравнения (6.4):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом месте символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» и делаем щелчок по опции «Вычислить».

На рабочем листе получается результат:

Решение по правилу 2:

Записываем уравнение:

Вводим любое имя искомого решения и знак присвоения, например:

r:=,

после которого размещаем красный визир ±.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение», а в разделе «Название функций» - root (корни). После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции с четырьмя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:

r:= root (■, ■, ■, ■)

В первое окошко вписываем имя функций F(x), во второе – переменную х, в третье и четвертое – (а) нижний и (в) верхний пределы, внутри которых ищется решение. Запись приобретает вид:

r: = root (F(x), x, a, в),

(пределы согласно рисунку 6.1 установлены 0 и 3).

Вновь вводим искомое решение, но теперь со знаком равенства:

r =,

и сразу получаем результат.

r = 2,8267802

Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученного результата, для чего вычисляем значение функции F(x) при найденном значении корня.

x:= 2.8267802

F(x) = 2.287 · 10^-7

Близость к нулю функции F(x) указывает на правильность полученного результата.