Теоретическое введение. Случайным процессом, шумом, флуктуациями называют такое изменение наблюдаемой величины во времени, когда по значению этой величины в текущий и в предыдущие

Случайным процессом, шумом, флуктуациями называют такое изменение наблюдаемой величины во времени, когда по значению этой величины в текущий и в предыдущие моменты времени нельзя точно предсказать ее будущее поведение. На практике шумом можно считать любое достаточно сложное нерегулярное, хаотическое изменение, пусть даже оно и осуществляется по некоторому определенному правилу.

Описание случайных процессов основано на понятии статистического ансамбля. Пусть x (t) - зависимость от времени некоторой случайной величины в наблюдаемой системе, например, запись напряжения электрической батареи, - так называемая реализация случайного процесса. Постулируется, что существует множество различных реализаций, соответствующих допустимым движениям системы, и предполагается, что в распоряжении наблюдателя сразу имеются все возможные реализации – статистический ансамбль реализаций { x (t)}. Вероятность какого-либо события, связанного с данным случайным процессом, определяется как отношение числа реализаций, в которых данное событие происходит, к общему числу реализаций в ансамбле, или как предел этого отношения, если число реализаций в ансамбле бесконечно. Ансамбль полностью определяет статистические свойства флуктуаций в системе, так как с его помощью можно рассчитать вероятность любого события.

Наиболее важными для практических приложений вероятностными характеристиками случайного процесса x (t) являются одновременная w ₁ (x, t) и двухвременная w ₂(x ₁, t ₁; x ₂, t ₂) плотности вероятности: w ₁(x, t) dx - вероятность того, что в момент времени t случайный процесс принимает значение, лежащее в интервале dx вокруг значения x, w ₂(x ₁, t ₁; x ₂, t ₂) dx ₁ dx ₂ - вероятность того, что в момент времени t ₁ случайный процесс принимает значение, лежащее в интервале dx ₁ около значения x ₁, и в момент времени t ₂случайный процесс принимает значение, лежащее в интервале dx ₂ около значения x ₂. Если параметры рассматриваемой системы и свойства ее окружения не изменяются с течением времени, вероятностные характеристики шума не зависят от выбора начала отсчета времени. Такие процессы называются стационарными.

Для стационарных процессов одномерная плотность вероятности w ₁ не зависит от времени, а двумерная плотность вероятности w ₂зависит лишь от разности моментов времени τ = t ₂ − t ₁. Далее будут рассматриваться только стационарные процессы.

Вероятностные характеристики дают наиболее полное описание случайного процесса. При решении задач, связанных с шумами, в большинстве случаев не требуется детальной информации и достаточно знания параметров, характеризующих шум в среднем. В первую очередь это среднее значение случайной величины:

(1)

и дисперсия, характеризующая флуктуационный разброс величины x около среднего значения:

. (2)

Для стационарного шума среднее значение и дисперсия не зависят от времени. Квадратный корень из дисперсии s называется среднеквадратичным разбросом случайной величины (standard deviation).

В реальных системах изменение флуктуирующей величины не может происходить бесконечно быстро, поэтому значения случайного процесса в разные моменты времени оказываются взаимосвязанными. Характеристикой шума, которая отражает связь между значениями случайного процесса в два момента времени, разделенные некоторым интервалом τ, является автокорреляционная функция:

, (3)

которая является четной функцией: С(-­t) = С(t).

Если величина интервала времени τ стремится к нулю, корреляционная функция стремится к дисперсии случайного процесса: С (0) = σ². В противоположном случае, когда интервал τ неограниченно возрастает, значения флуктуаций становятся взаимно независимыми, и корреляционная функция стремится к нулю. Величина временного интервала, на котором значение корреляционной функции существенно отличается от нуля, то есть время, в течение которого сохраняется информация о начальном значении процесса, называется временем корреляции случайного процесса τ _С.

Наряду с корреляционной функцией для описания свойств шума используется его спектральное разложение. Если стационарный шум x (t) пропустить через узкополосный фильтр, т.е. оставить лишь спектральные составляющие в полосе частот D f около частоты f, дисперсия случайного процесса на выходе фильтра будет пропорциональна полосе частот D f:

. (4)

Функция частоты S (f) называется спектральной плотностью шума и характеризует средний квадрат флуктуаций в единичном интервале частот. Дисперсия исходного процесса x (t) представляет собой сумму дисперсий его спектральных составляющих:

. (5)

Спектральные плотности шума на входе S_in (f) выходе S_out (f) линейной электрической цепи с коэффициентом передачи G (f) связаны соотношением:

. (6)

Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса связаны косинус-преобразованиями Фурье:

, (7)

. (8)

Среднее, дисперсия и автокорреляционная функция (или спектральная плотность) являются основными характеристиками случайных процессов, широко используемыми на практике. Они относительно просто измеряются, и их знания достаточно для решения многих задач, требующих количественного описания шумов в электронных устройствах.

Электрические цепи и электронные приборы демонстрируют большое разнообразие флуктуационных явлений. Шум может быть обусловлено как самим механизмом протекания электрического тока, так и флуктуациями других неэлектрических величин, которые преобразуются во флуктуации тока или напряжения. В настоящей работе изучаются две причины появления флуктуаций в электрических цепях: тепловой шум и дробовой шум.

Тепловой шум. Другими названиями этого шума являются шум Найквиста и шум Джонсона. Джонсон первый экспериментально обнаружил эти флуктуации, а Найквист получил аналитическое выражение для спектральной плотности источника теплового шума. В электрических системах причиной флуктуаций напряжения и тока в проводнике является хаотическое движение носителей заряда. В большинстве практических случаев время корреляции, обусловлено конечным временем пробега носителей тока, которое в металлах при комнатной температуре имеет порядок 10^-14 с.

Чтобы описать тепловой шум в схеме электрической цепи последовательно с резистором размещают источник шумовой э.д.с. e (t). Величина спектральной плотности источника теплового шума определяется общими термодинамическими соотношениями. Рассмотрим цепь на рис. 1, состоящую из резистора с сопротивлением R соединенного с конденсатором емкостью C. Коэффициент передачи от источника э.д.с. e (t) в напряжение на конденсаторе u (t) имеет вид:

. (9)

В соответствии с соотношением (6) спектральные плотности флуктуаций э.д.с. и напряжения на конденсаторе связаны соотношением:

. (10)

В соответствии с теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия при температуре T средняя энергия, запасенная в конденсаторе, определяется равенством:

. (11)

Интегрирование по частоте выражения (10) для спектральной плотности шума напряжения S_U (f) и подстановка полученной величины мощности шумового напряжения < U ² > в соотношение (11) приводит к формуле Найквиста для спектральной плотности шумовой э.д.с., отражающей тепловые флуктуации напряжения на резисторе:

. (12)

Дробовой шум. Дробовой шум возникает, когда носители заряда случайно пересекают некоторый потенциальный барьер. При этом каждый носитель генерирует в цепи импульс тока, и суперпозиция этих импульсов образует флуктуирующий ток. Примерами являются флуктуации тока электронной лампы, обусловленные случайным выходом электронов из катода вследствие термоэлектронной эмиссии; флуктуации тока фотодиода из-за случайной генерации носителей под действием падающего излучения; флуктуации тока, протекающего через p-n переход, также имеют характер дробового шума. Термин «дробовой шум» происходит из-за аналогии этого явления шуму сыплющихся дробинок.

Протекание через потенциальный барьер постоянного тока силой I ₀ сопровождается флуктуациями. Если заряд носителя тока равен заряду электрона, то спектральная плотность флуктуаций тока S_I, вызванного дробовым шумом, определяется формулой Шоттки:

. (13)

Чтобы описать шум в электрической цепи, вызванный этим эффектом, в ее схему включают источник шумового тока, спектральная плотность которого определяется формулой (13) (рис. 2). Для случая электрической цепи, схема которой представлена на рис. 2, шум напряжения на конденсаторе характеризуется спектральной плотностью вида:

. (14)

Сопоставление соотношений (10) и (14) показывает, что источник шумового тока i (t) в электрической цепи может быть заменен эквивалентным ему источником шумового напряжения напряжения с э.д.с. E(t), равной:

E(t) = i (t) R. (15)