Основные понятия стационарности объекта

Статистический анализ характеристик объекта

1. Цель работы: провести статистический анализ характеристик объекта, определив стационарность объекта по среднему значению и дисперсии, по критерию серий и по t-критерию Стьюдента.

Теоретические положения

Основные понятия стационарности объекта

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца». На рисунке 1.1 приведен пример стационарного случайного процесса (изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета).

Рисунок 1.1 – Пример стационарного случайного процесса

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени. На рисунке 1.2 приведен пример нестационарного случайного процесса (процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени).

Рисунок 1.2 – Пример нестационарного случайного процесса

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Случайная функция называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

(1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции всегда можно перейти к центрированной случайной функции, для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, – это условие постоянства дисперсии:

(1.2)

Кроме математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции оценить стационарность данных можно по ряду критериев и алгоритмов.

Наиболее часто для оценки стационарности результатов наблюдений используют следующие алгоритмы:

– алгоритм с использованием критерия серий;

– алгоритм с использованием модифицированного критерия серий;

– алгоритм на основе критерия восходящих и нисходящих серий;

– алгоритм на базе рангового критерия Кендала;

– алгоритм на основе критерия Аббе.

Наилучшие результаты получаются при последовательном использовании этих алгоритмов. Тогда решение о наличии (или об отсутствии) стационарности в ряде данных принимается, если об этом свидетельствуют результаты работы не менее чем трех из четырех перечисленных алгоритмов.

Рассмотрим алгоритм на основе критерия серий, который предусматривает построение на основании свойств исходного бинарного ряда наблюдений, принимающего значения только -1 или 1 по правилу:

если

если

где: – медиана исследуемого ряда.

Установлено, что если общее число серий (последовательностей только из подряд идущих 1 или –1) удовлетворяет условию

(где , - табулированные значения квантилей распределения при заданном критическом уровне значимости и известном объеме наблюдений ), то гипотеза о стационарности и независимости случайного процесса принимается. В противном случае принимается гипотеза о наличии тренда процесса.