Вычисление определенного интеграла при помощи численных методов вычисления

Метод прямоугольников

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [ a, b ] делят на n равных частей точками

a = x ₀< x ₁< x ₂<…< x _n= b,

так, что x _i+1- x _i=(b - a)/ n (i =0.. n -1). Длина каждого отрезка (шаг интегрирования) определяется как h =(b - a)/ n, а точки разбиения (узлы) x ₀= a, x ₁= x ₀+ h, … x _n= x _n-1+ h. В узлах вычисляются ординаты y ₀, y ₁, …, y _n, т.е. y _i= f (x _i). На частичных отрезках [ x _i; x _i+1] строят прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка (рис.11.1 и 11.2). Произведение f (x _i)× h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, предстающей собой приближённое значение интеграла.

Рис.11.1 Рис.11.2

Если f(x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула левых прямоугольников:

Если f(x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

Для вычисления интеграла I по методу средних прямоугольников функцию f (x _i) вычисляют в точках x_i +h/2 Î[x_i; x_i+1]. В результате получают формулу средних прямоугольников

Точность вычисления интеграла зависит от количества прямоугольников, на которые разбивают область интегрирования.

Метод трапеций

Для вычисления интеграла I по методу трапеций промежуток интегрирования [x_n; x_k] делят на n равных частей, через точки разбиения проводят прямые параллельно оси y до пересечения с графиком функции f(x) (рис.11.3). Потом соединяют точки пересечения, площади полученных n-криволинейных трапеций заменяют площадями прямоугольных трапеций с высотой h=(x_n-x₀)/n.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

где y_i=f(x_i).

Рис.11.3

Вычисление I по методу трапеций более точное, чем по методу средних прямоугольников.

Формула Симпсона

Если на частичном отрезке длиной 2h функция f заменяется дугой параболы (рис.11.4), то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона: