Сложение в проективном представлении

При вычислении композиции можно избавиться от вычисления инверсии, если в качестве координат использовать рациональные числа, производя вычисления отдельно с числителем и знаменателем. Наиболее выгодным оказалось взвешенное проективное представление координат:

Формулы вычисления x₃ и y₃:

Алгоритм:

ВХОД: P₁ = (X₁,Y₁,Z₁), P₂ = (X₂,Y₂,Z₂), P₁, P₂ ≠ O, P₁ ≠ ±P₂

ВЫХОД: P₃ = (X₃,Y₃,Z₃) = P₁ + P₂

λ₁ = X₁Z₂²

λ₂ = X₂Z₁²

λ₃ = λ₂ – λ₁

λ₄ = Y₁Z₂³

λ₅ = Y₂Z₁³

λ₆ = λ₅ – λ₄

λ₇ = λ₁ + λ₂

λ₈ = λ₄ + λ₅

Z₃ = Z₁ Z₂ λ₃

X₃ = λ₆² – λ₇λ₃²

λ₉ = λ₇λ₃² – 2X₃

Y₃ = (λ₉λ₆ – λ₈λ₃³) / 2

Пример.

P₁ = (5,1,1), P₂ = (4,6,1)

λ₁ = 5 · 1 = 5,

λ₂ = 4 · 1 = 4,

λ₃ = 4 – 5 = 6,

λ₄ = 1 · 1 = 1,

λ₅ = 6 · 1 = 6,

λ₆ = 6 – 1 = 5,

λ₇ = 5 + 4 = 2,

λ₈ = 1 + 6 = 0,

Z₃ = 1 · 1 · 6 = 6,

X₃ = 5² – 2 · 6² = 2,

λ₉ = 2 · 6² – 2 · 2 = 2 – 4 = 5,

Y₃ = (5 · 5 – 0 · 6³) / 2 = 25 / 2 = (25+7) / 2 = 16 = 2.

P₃ = (2,2,6) = (2/6², 2/6³) = (2·6^-2, 2·6^-3) = (2·1, 2·6) = (2, 5).

Удвоение в проективном представлении

Формулы вычисления x₃ и y₃:

Алгоритм:

ВХОД: P₁ = (X₁,Y₁,Z₁), P₁≠ O

ВЫХОД: P₃ = (X₃,Y₃,Z₃) = [2] P₁

λ₁ = 3X₁² + aZ₁⁴

λ₂ = 4X₁Y₁²

Z₃ = 2Y₁Z₁

X₃ = λ₁² - 2λ₂

λ₃ = 8Y₁⁴

Y₃ = λ₁(λ₂ – X₃) – λ₃