Теоретическое обоснование. Цель работы: осуществить экспериментальную проверку формулы, связывающей момент инерции тела с его главными центральными моментами инерции и пос

Изучение тензора

Моментов инерции

Выполнили:

студенты группы Ф–14

Кукобникова В.В.,

Лобан А.А.

Цель работы: осуществить экспериментальную проверку формулы, связывающей момент инерции тела с его главными центральными моментами инерции и построить эллипсоиды тензора моментов инерции данных тел.

Приборы: установка FPM-05, набор тел, штангенциркуль.

Теоретическое обоснование

Момент инерции некоторого тела относительно оси ON, проходящей через его центр масс, связан с главными центральными моментами инерции этого тела формулой:

(1)

где , и -направляющие косинусы оси On, т.е. косинусы углов между осью ON и главными осями OX, OY и OZ тензора моментов инерции тела.

Преобразуем соотношение (1) к виду удобному для экспериментальной проверки. Используя известную формулу для периода крутильных колебаний тела вокруг некоторой оси:

где I -момент инерции тела относительно этой оси, -момент кручения подвеса, нетрудно получить следующие соотношения:

(2)

Здесь , , и - периоды крутильных колебаний тела относительно его главных центральных осей и оси ON.

Для направляющих косинусов оси ON исследуемого (параллелепипеда) можем записать:

(3)

Подставив (2) и (3) в формулу (1) приходим к соотношению:

(4)

Таким образом, задача проверки формулы (1) сводится к проверке выражения (4), устанавливающего связь между линейными размерами тела и периода его крутильных колебаний относительно четырех осей, три из которых являются главными центральными осями.

Практически для увеличения точности измеряются не периоды крутильных колебаний , , и , а продолжительность , , и нескольких полных колебаний. Искомые значения периодов могут быть найдены из простого соотношения:

(5)

где t -время, за которое совершается n полных колебаний.

Соотношение (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Изменяя ориентацию оси ON и откладывая вдоль нее значение соответствующего момента инерции , получим геометрическое место точек, образующих эллипсоид, получивший название эллипсоида тензора моментов инерции. Для изучения последнего удобно рассмотреть его сечения координатными плоскостями XOY, XOZ, и YOZ системы координат образованной главными осями OX, OY, OZ.

Полагая в выражении (1) угол и учитывая возникающую при этом связь между углами и , находим уравнение кривой:

(6)

полученной сечением эллипсоида тензора моментов инерции плоскостью XOY. С учетом (2) уравнение (6) принимает вид:

(7)

Аналогично получаются уравнения сечений изучаемого эллипсоида плоскостями

YOZ: (8)

ZOX: (9)

Измерив значение периодов крутильных колебаний , , данного тела относительно его главных центральных осей и изменяя значения направляющих углов , и от до , с помощью соотношений (7-9) можно построить сечения эллипсоида тензора моментов инерции исследуемого тела и сделать выводы о его характере и особенностях.