2015-05-12
209
ЦЕЛЬ И МЕТОД РАБОТЫ.
Научиться определять момент инерции твердого тела динамическим методом, в основе которого лежат законы о сохранении и превращении энергии.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
Пусть твердое тело А имеет ось вращения 
. Если к телу А будет приложена некоторая сила F, не проходящая через ось вращения и не параллельная этой оси, то тело А будет вращаться относительно оси .
Разобьем тело А на элементарные точки с массами mi, и пусть на эти точки действуют силы Fi, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси . Под действием силы Fi точке mi будет сообщено ускорение 
, т. е.
(1)
Рис.1 
Если точка mi находится от оси на расстоянии 
, то 
, где 
- угловое ускорение точки mi относительно . Тогда
(2)
Опыт показал, что есть функция от 
и , то есть 
, тогда, умножив обе части уравнения (2) на , получим:
, т. е.
, (3)
где 
называется моментом силы, который является мерой взаимодействия при вращательном движении. Тогда по аналогии со вторым законом Ньютона для поступательного движения 
поставим в аналогию ~ , 
~ и 
~ 
, тогда отсюда видно, что для материальной точки mi при движении ее вокруг оси по окружности радиусом 
величина является мерой инертности и называется моментом инерции материальной точки относительно оси при вращательном движении и обозначается 
.
|
|
|
Тогда для твердого тела А мера взаимодействия тела с внешними механическими силами, вызывающее вращение его относительно оси будет равно
(4)
Но так как является одинаковым для всех материальных точек тела,
т.е. 
, то
т.е. 
(5)
Уравнение (5) является основным законом динамики для тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, или Вторым Законом Ньютона для вращательного движения твердого тела,
где 
– результирующий момент силы, действующей на тело А относительно оси О, О,’;
JА – момент инерции тела (мера инерции тела).
Так как 
то уравнение (5) примет вид:
или 
или
, (6)
где 
- момент импульса тела (момент количества движения).
Момент инерции тела, вычисленный относительно оси, проходящей через центр тяжести, называется центральным моментом инерции Jc.
Для любой другой оси, параллельной центральной оси (проходящей через центр тяжести тела), момент инерции выражается формулой Гюйгенса-Штейнера:
, (7)
где m - масса тела; d - расстояние между осями (рис.2). При вращении твердого тела под действием некоторого момента сил MA ¹0, над каждой элементарной точкой mi совершается работа на перемещение:
Рис. 2
т.е. 
, (8)
а полная работа, затраченная на движение материальной точки при вращении твердого тела:
, (9)
то полная работа на вращение тела:
.
Но так как механическая работа А равна изменению энергии DT, т.е. 
|
|
|
то 
; 
(10)
Тогда под 
будет пониматься кинетическая энергия твердого тела при вращении.
Если тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном со скоростью n и вращательным вокруг оси, проходящей через центр массы, то полная кинетическая энергия тела равна:
(11)
