Пересечение плоскостей и поверхностей

Задача. Построение линии пересечения двух плоскостей (поверхностей первого порядка) общего положения Г (АВС) и (DEF). Возьмем, например, горизонтальную плоскость уровня и составим алгоритм в символической записи для определения точки M. 1) 1 Г (АВС) (DEF) 2) Г (АВС) = (A - 1) (DEF) = (2 - 3); 3) (A - 1) (2 - 3) = M.
37) Построить точку К пересечения прямой DE c плоскостью α(АВС).
38) Построить линию пересечения МN плоскостей α(АВС) и β(DEF)

Задача. Построение линии пересечения многогранника с плоскостью.

Линия пересечения многогранника с плоскостью является плоской ломаной линией, вершины которой — точки пересечения ребер, а стороны — линии пересечения граней многогранника с плоскостью.

Построение вершин К, L и М ломаной выполнено по алгоритму первой позиционной задачи. Например, алгоритм для определения точки К= Г (SA) имеет вид:

1) (SA) П2;

2) Г = (1 - 2);

3) (1-2) (SA) =K.

39) Построить точки пересечения прямой общего положения с поверхностью пирамиды.

Точки L и М определены аналогично. Полученные проекции вершин соединены прямыми с учетом их видимости относительно П₁ и П_2.

40) Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью призмы.

Задача. Построение линии пересечения кривой поверхности с плоскостью.

Линия l пересечения кривой поверхности Ф с плоскостью представляет собой плоскую кривую.

На рисунке показано построение линии пересечения поверхности Ф конуса вращения фронтально проецирующей плоскостью , пересекающей все образующие конуса. Линией пересечения в данном случае является эллипс, для построения проекций которого найдены все опорные точки и ряд промежуточных.

Проведена вспомогательная плоскость 1 = f1. Отмечены фронтальные проекции А2 и В2 искомых точек А и В в пересечении очерка фронтальной проекции конуса (проекции главного меридиана) и фронтальной проекции f2 = 2 фронтали f. Затем, по линиям связи найдены горизонтальные А1, В1 и профильные А3, В3 проекции точек А и В из условия принадлежности их плоскости .

Точки Е и F (очерковые относительно П3) определены по аналогичному алгоритму. Они являются точками смены видимости проекции эллипса на П3.

Вспомогательная плоскость  является общей плоскостью симметрии для конуса Ф и плоскости . Поэтому найденные очерковые точки А и В являются одновременно и экстремальными — высшей и низшей относительно П1, наиболее и наименее удаленными относительно П3. Они ограничивают большую ось [АВ]

эллипса, которая проецируется на П2 в отрезок [A2B2] 2.

Точки C и D (наиболее и наименее удаленные относительно П2) ограничивают малую ось [CD] эллипса, которая является отрезком фронтально проецирующей прямой n. На П2 она проецируется в точку n2, делящую отрезок [А2В2] пополам. Для по-

строения точек С и D в качестве вспомогательной выбрана горизонтальная плоскость уровня Г n, пересекающая конус Ф по окружности m, а плоскость — по прямой n.

Алгоритм в символической записи имеет вид:

41) Построить проекции сечения пирамиды проецирующей плоскостью α

42) Построить точки пересечения плоскости с поверхностью конуса.
43) Построить проекции линии пересечения двух многогранников

44) Построить линию пересечения сферы с фронтально проецирующей плоскостью. 45) Построить линию пересечения сферы Ф с пирамидой SABC.