Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

Отчет по лабораторной работе №15

Кафедра: Общей технической физики

По дисциплине: Физика

Выполнил: студент гр. ТНГ-10-2 ______________ Щербань А.И.

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Оценка: _____________

Дата: __________________

Проверил: доцент ______________ Немов С.А.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

Цель работы: измерение моментов инерции различных тел. Проверка теоремы Штейнера.

Краткое теоретическое содержание: Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции такой отдельной элементарной массы

где - расстояние от элемента объема до оси вращения, r - плотность вещества.

Момент инерции всего тела

,

Таким образом, момент инерции различных тел можно найти с помощью интегрирования.

Рассмотрим результаты расчета для некоторых частных случаев.

1. Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии R от оси вращения

(1)

2. Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, его масса m.

(2)

.Эта же формула справедлива для момента инерции сплошного цилиндра относительно оси совпадающей с осью цилиндра..

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.

(3)

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

(4)

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

(5)

Эти формулы для моментов инерции относительно оси симметрии.

Момент инерции относительно произвольной оси можно найти с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

Получим с помощью этой теоремы формулу момента инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец.

(6)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.

Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. Если зкрутить пружину на угол j, то в результате деформации пружины возникнет упругая сила. Она создает крутящий момент (момент силы) М

M=Dj (7)

Здесь D – модуль кручения пружины.

Этот крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние. В результате возникают крутильные колебания.

Из теории крутильных колебаний следует формула для периода колебаний

(8)

где J - момент инерции.

Отсюда

(9)

Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела, насаженного на ось пружины.

Определение основных физических понятий, объектов, процессов и величин:

Момент инерции тела – мера инертности тела при вращательном движении;

Момент силы (крутящий момент) – векторная физическая величина, характеризует вращательное действие силы на твердое тело.

Модуль кручения пружины – скалярная физическая величина, равная модулю отношения крутящего момента к углу закручивания пружины.

Пояснения к основным физическим величинам:

M – момент силы [ Н/м];

D – модуль кручения пружины;

l – плечо силы [м];

F – сила, необходимая для удержания стержня в нужном положении [Н];

T – период крутильных колебаний [с];

J – момент инерции тела [кг· ];

r – расстояние от оси вращения до центров грузов [м];

J_ст – момент инерции стержня [кг· ];

d – некоторое расстояние [м];

R – радиус тела [м];

– масса стержня [кг];

m – масса [кг].

Основные расчетные формулы:

;

;

, где ;

;

;

;

;

;

.

Формулы расчета погрешностей косвенных измерений:

– средняя абсолютная погрешность расчета момента силы;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально);

– средняя абсолютная погрешность расчета расстояний от оси вращений до центров грузов;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня с грузами;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня.

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции сплошного цилиндра и диска;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции шара;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции полого цилиндра;

– средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции стержня по теореме Штейнера.

Ход работы:

1) Для определения модуля кручения D пружины взяла стержень с грузами и насадила его на ось пружины, грузы сдвинула к центру, повернула стержень на заданные углы, измерила силу F с помощью динамометра. Вычислила момент силы M по формуле М=Fl. Полученные данные занесла в таблицу:

[ Н/м]; %;

[ Н/м]; %;

[ Н/м]; %;

[ Н/м]; %.

j	F	l	M
p/2	0,700±0,050	0,047±0,001	0,033±0,003
p	1,200±0.050	0,047±0,001	0,056±0,004
3p/2	1,800±0,050	0,047±0,001	0,085±0,004
2p	2,550±0,050	0,047±0,001	0,120±0,005

По полученным данным построила график зависимости М от φ:

M

Определила модуль кручения пружины D

.

2) А. Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии.

Насадила на ось пружины исследуемое тело, закрутила пружину на 180º и отпустила, измерила T, проделав несколько опытов. Далее замерила R, m и вычислила момент инерции исследуемого тела (экспериментальный и теоретический).

Результаты занесла в таблицы:

Цилиндр

	1	2	3	4	5
T[с]	1,016±0,001	1,016±0,001	1,016±0,001	1,016±0,001	1,016±0,001
m[кг]	0,353±0,001	0,353±0,001	0,352±0,001	0,352±0,001	0,353±0,001
R[м]	0,050±0,001	0,050±0,001	0,050±0,001	0,050±0,001	0,050±0,001

[кг· ]; [кг· ];

[кг· ]; .

[кг· ];

[кг· ];

[кг· ];

Диск

	1	2	3	4	5
T[с]	1,747±0,001	1,747±0,001	1,748±0,001	1,747±0,001	1,748±0,001
m[кг]	0,262±0,001	0,262±0,001	0,263±0,001	0,263±0,001	0,262±0,001
R[м]	0,108±0,001	0,108±0,001	0,109±0,001	0,108±0,001	0,108±0,001

[кг· ]; .

[кг· ];

Шар

	1	2	3	4	5
T[с]	1,675±0,001	1,675±0,001	1,674±0,001	1,675±0,001	1,674±0,001
m[кг]	0,651±0,001	0,651±0,001	0,652±0,001	0,652±0,001	0,651±0,001
R[м]	0,068±0,001	0,068±0,001	0,067±0,001	0,068±0,001	0,068±0,001

[кг· ]; .

[кг· ]; %.

Полый цилиндр

	1	2	3	4	5
T[с]	1,313±0,001	1,303±0,001	1,313±0,001	1,313±0,001	1,302±0,001
m[кг]	0,352±0,001	0,352±0,001	0,353±0,001	0,352±0,001	0,352±0,001
[м]	0,051±0,001	0,051±0,001	0,051±0,001	0,051±0,001	0,051±0,001
[м]	0,047±0,001	0,047±0,001	0,047±0,001	0,048±0,001	0,047±0,001

[кг· ]; %.

[кг· ]; %.

В. Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения ( m =0,212±0,001 [кг]; =0,132±0,001 [кг]; l =0,600±0,001 [м]).

r, (м)	0,027±0,001	0,047±0,001	0,067±0,001	0,087±0,001	0,107±0,001	0,127±0,001
r2, (м2)	0,073· ±0,002	0,002±0,002	0,004±0,002	0,008±0,002	0,011±0,002	0,016±0,002
T, (с)	2,950±0,001	3,431±0,001	4,196±0,001	5,101±0,001	6,080±0,001	7,137±0,001
J, (кг.*м2)	0,004±0,265	0,005 ±0,410	0,006 ± 0,603	0,007 ± 0,951	0,009 ± 0,136	0,012 ± 0,217

1) [кг· ];

[кг· ];

[кг· ]; %.

[кг· ];

[кг· ];

[кг· ]; %.

2) [кг· ]; %.

[кг· ]; %.

3) [кг· ]; %.

[кг· ]; %.

4) [кг· ]; %.

[кг· ]; %.

5) [кг· ]; %.

[кг· ]; %.

6) [кг· ]; %.

[кг· ]; %.

­­± 0,004·10 − теоретическое значениемомента инерции стержня;

Отрезок на оси ординат, равный J_{ст ,} так же равен теоретическому значению.