Системы экономических уравнений

1. Общие понятия о системах уравнений, используемых в экономике.

2. Структурная и приведенная формы моделей, графических связей.

3. Проблемы идентификации системы уравнений

4. Способ решения точно идентифицированной системы (косвенный МНК).

5. Способ решения сверхидентифицированной системы (двухшаговый МНК.)

Объектом статического изучения в экономических науках являются сложные системы. Измерение тесноты связи между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования.

При использовании отдельных уравнений регрессии предполагается, что факторы, включенные в них, можно изменять независимо от других факторов, воздействующих в экономике. Однако это предположение неверно, так как практически изменение одной переменной не может происходить при неизменности других переменных, т.е. ее изменение влечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков, следовательно, отдельно взятое уравнение регрессии не может характеризовать влияние отдельных признаков на вариацию результата. Именно поэтому в экономических и социальных исследованиях важное место занимает проблема описания структуры связи между переменной системой одновременных уравнений (структурного уравнения).

Например: Классическим примером является одновременное формирование и на рынке.

P D P

P_EE

Q_EQ

P – равновесная цена;

I – величина реально располагаемого дохода

В условиях равновесия рынка

В этом случае – цена равновесия, которая формируется одновременно с объемом спроса и предложения , т.е. в данной системе мы должны считать, что , – зависимые, объемные переменные; I – объясняющая факторы переменная.

Виды систем

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

I. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная () рассматривается как функция одного и того же набора факторов .

В данном случае набор факторов может варьировать в каждом уравнении.

так является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что в ней набор факторов видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнениях системы может быть следствием как нецелесообразности включения его в систему, так и незначимости его воздействия на результирующий признак (незначимость - критерия Стьюдента и частного - критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений не рассматривается самостоятельно. Для нахождения его параметров используются МНК, т.е. по существу каждое уравнение данной системы является уравнением множественной регрессии.

II. Система рекурсивных уравнений строится в том случае, когда зависимая переменная , одного уровня выступает в роли факторного в другом уравнении.

В данной системе зависимая переменная , включает в каждое последующее уравнение в качестве факторных признаков все зависимые переменные предшествующих уравнений плюс собственный набор факторов .

Для решения данной системы и нахождения её параметров используется МНК.

III. Система взаимосвязанных (одновременных, совместных) уравнений, т.е. когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую, а в других уравнениях- в правую часть системы.

В системе одновременных уравнений одни и те же переменные () рассматриваются одновременно как зависимые в одних уравнениях и не зависимые в других.

В эконометрике эта система называется так же структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, или нахождении его параметров традиционный МНК не применим. Используют специальные приёмы оценивания.

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей её использования все входящие в неё переменные подразделяются на:

1. Экзогенные - т.е. задаваемые извне, автономно, в определённой степени управляемые и планируемые. Обозначается обычно как .

2. Эндогенные – значения которых формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой системы под воздействием экзогенных переменных и во взаимодействии друг с другом. Обозначается как . Является зависимой переменной, их число равно числу уравнений в системе.

В модели и :

- экзогенная

, - эндогенная

С математической точки зрения главное отличие между эндогенными и экзогенными переменными в том, что экзогенные не коррелируют с ошибками регрессии, тогда как эндогенные, как правило, коррелируют.

3. Предопределенные переменные - те, которые выступают в роли фактов или объясняющих переменных. К ним относят все экзогенные переменные и лаговые эндогенные переменные системы

Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значения экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

Простейшая структурная форма модели:

где - эндогенная переменная

-экзогенная

Классификация переменных на экзогенные и эндогенные зависит от теоретической концепции модели. Переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других - как экзогенные.

Структурная форма модели содержит в правой части коэффициенты и , которые называются структурные коэффициенты модели.

Система соотношений, в которой все эндогенные переменные явно линейно выражены через предопределенные переменные и случайные величины, называется приведенной формой эконометрической модели.

Общий вид приведенной формы модели:

(дельта)- коэффициенты приведенной формы модели.

Пример. Структурная форма модели:

Выражаем 2-е уравнение из 1-ого:

Система одновременных уравнений примет вид:

, где

Аналогично выразив из 2-ого уравнения:

Идентификация – единственность соответствия между приведенными и структурными формами модели.

Модели могут быть 3-х видов:

I. идентифицируемые,

II. неидентифицируемые,

III. сверхидентифицируемые,

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить 2 или более значений 1 структурного коэффициента.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентифицируемость.

Модель считается идентифицтруемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то и вся система считается неидентифицируемой. Если модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение, при условии, что все остальные точно идентифицируемы, то вся модель считается сверхидентифицируемой.

Cчетное правило (т.е. необходимое условие идентификации).

H - число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных уравнением переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе

Если D+1=H - система идентифицируема,

Если D+1<H - система неидентифицируема,

Если D+1>H - система сверхидентифицируема.

Пример. Имеется система уравнений:

Проверяем необходимое условие идентификации

уравнение	H	D	неравенство	характеристика уравнения
	, ,	,	2+1=3	идентифицируема
	,	,	2+1>2	сверхидентифицируема
	, ,		1+1<3	неидентифицируема

Система неидентифицируема, т.к. уравнение 3 идентифицируемо, и не имеет статистическое решение.

Достаточное условие идентификации

По этому условию более точно определяется идентификация модели.

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов при переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе

(всех переменных: экзогенных и эндогенных), не равен 0 и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без 1.

Пример:

1)Проверим необходимое условие идентификации (его соблюдение)

1 уравнение: H = 3; D = 2, 2+1=3 идентифицируемо

2 уравнение: H = 2; D = 1, 1+1=2 идентифицируемо

3 уравнение: H = 3; D = 1, 2+1=3 идентифицируемо

В соответствии с необходимым условием, модель считается идентифицируемой.

уравнение	переменные

2)Проверим на достаточное условие идентификации 1 уравнение:

, следовательно, уравнение 1 неидентифицируемо.

уравнение	переменные


	-1

, что соответствует обоим критериям достаточного условия, следовательно уравнение идентифицируемо.

уравнение	переменные

уравнение неидентифицируемо.

Структурная модель, идентифицируемая по счетному правилу (по необходимому условию), оказалась неидентифицируема по достаточному условию. Система неидентифицируема.

Коэффициенты структурной формы модели могут быть оценены разным способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. В случае точной идентифицированной структурной модели применяется косвенный МНК, который состоит из следующих этапов:

1) структурная модель преобразуется в приведённую форму.

2) для каждого уравнения приведённой формы обычным МНК оценивается приведённые коэффициенты .