Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:
а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .
б) балльную оценку предпочтения: .
в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .
г) во сколько раз один объект важнее другого: .
По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:
: например, , где число экспертов.
Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .
Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .
Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .
Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).
Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:
, (8.8)
в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.
Если условие (8.8) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это как-бы идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).
|
|
Реальная матрица условию (8.8) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.
Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :
. (8.9)
Эти равенства можно записать так:
. (8.10)
Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .
Для матрицы, удовлетворяющей условию (8.8), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (8.10).
Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (8.8), вектор ищется путем решения уравнения:
, (8.11)
причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.
Существуют специальные методы решения уравнения (8.11). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении
и .
и получаются на й итерации в соответствии с формулой
, (8.12)
где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .
Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (8.8).
|
|
Пример 8.3.Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и . Определяем средний балл . Выбираем . . и . Далее повторяем итерации. . и . . и . Изменения прекратились и вычисления можно закончить. |