ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить теорию, необходимую для выполнения работы, и ответить на вопросы для самопроверки.
Вопросы для самопроверки
Дайте определения:
1. вектора и модуля вектора;
2. коллинеарности, компланарности, равенства векторов;
3. линейных операций над векторами; *)
4. базиса на прямой, на плоскости и в пространстве;
5. линейной зависимости и независимости векторов;
6. скалярного произведения векторов; *)
7. ортонормированного базиса;
8. векторного произведения векторов; *)
9. смешанного произведения трех векторов; *)
10. определителей 2-го и 3-го порядков; *)
11. полярной, цилиндрической и сферической систем координат.
12. Как выражаются введенные операции над векторами через их координаты в ортонормированном базисе?
13. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)?
14. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?
|
|
15. Как можно найти точку пересечения а) двух линий на плоскости? б) трех поверхностей? в) линии и поверхности?
16. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей.
Напишите:
17. векторное уравнение плоскости, имеющей заданную нормаль и проходящей через заданную точку;
18. векторное уравнение прямой, имеющей заданный направляющий вектор и проходящей через заданную точку;
19. уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости;
20. уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки;
21. формулы вычисления углов а) между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), б) между двумя плоскостями, в) между прямой и плоскостью;
22. условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости;
23. канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы; уравнения асимптот гиперболы;
24. канонические уравнения поверхностей 2-го порядка;
25. примеры уравнений линий в полярных координатах;
Дайте определения:
26. матрицы; линейных операций с матрицами; *)
27. определителя; *) минора, алгебраического дополнения;
28. решения системы линейных уравнений, совместности и несовместности системы.
29. Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.
30. Напишите формулы Крамера и дайте условие их применимости.
31. При каком условии однородная система линейных уранений с квадратной матрицей имеет ненулевое решение?
32. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений и отыскания ранга матрицы.
Дайте определения:
|
|
33. ранга матрицы;
34. свободных и базисных неизвестных в системе линейных уравнений;
35. общего решения однородной и неоднородной линейной системы;
36. произведения двух матриц; *)
37. обратной матрицы;
38. линейного (векторного) пространства Ln;
39. линейной зависимости и независимости векторов в Ln;
40. базиса и размерности линейного пространства Ln;
41. векторной формы записи системы линейных уравнений;
42. евклидова пространства ;
43. модуля вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве ;
44. линейного преобразования пространства и его матрицы;
45. композиции линейных преобразований и ее матрицы;
46. собственных значений и собственных векторов линейного преобразования;
47. квадратичной формы и ее матрицы.
48. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнений линий и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду?
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Найти координаты вектора x в базисе {a,b,c}:
Указание: при решении системы применить правило Крамера.
1.1. x ={ -2, 4, 7 }, a ={ 0, 1, 2 }, b ={ 1, 0, 1 }, c ={ -1, 2, 4 }.
1.2. x ={ 6, 12, -1 }, a ={ 1, 3, 0 }, b ={ 2, -1, 1 }, c ={ 0, -1, 2 }.
1.3. x ={ 1, -4, 4 }, a ={ 2, 1, -1 }, b ={ 0, 3, 2 }, c ={ 1, -1, 1 }.
1.4. x ={ -9, 5, 5 }, a ={ 4, 1, 1 }, b ={ 2, 0, -3 }, c ={ -1, 2, 1 }.
1.5. x ={ -5, -5, 5 }, a ={ -2, 0, 1 }, b ={ 1, 3, -1 }, c ={ 0, 4, 1 }.
1.6. x ={ 13, 2, 7 }, a ={ 5, 1, 0 }, b ={ 2, -1, 3 }, c ={ 1, 0, -1 }.
1.7. x ={-19, -1, 7 }, a ={ 0, 1, 1 }, b ={ -2, 0, 1 }, c ={ 3, 1, 0 }.
1.8. x ={ 3, -3, 4 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ 0, 1, 1 }, c ={ 2, -1, 4 }.
1.9. x ={ 3, 3, -1 }, a ={ 3, 1, 0 }, b ={ -1, 2, 1 }, c ={ -1, 0, 2 }.
1.10. x ={ -1, 7, -4 }, a ={ -1, 2, 1 }, b ={ 2, 0, 3 }, c ={ 1, 1, -1 }.
1.11. x ={ 6, 5, -14 }, a ={ 1, 1, 4 }, b ={ 0, -3, 2 }, c ={ 2, 1, -1 }.
1.12. x ={ 6, -1, 7 }, a ={ 1, -2, 0 }, b ={ -1, 1, 3 }, c ={ 1, 0, 4 }.
1.13. x ={ 5, 15, 0 }, a ={ 1, 0, 5 }, b ={ -1, 3, 2 }, c ={ 0, -1, 1 }.
1.14. x ={ 2, -1, 11 }, a ={ 1, 1, 0 }, b ={ 0, 1, -2 }, c ={ 1, 0, 3 }.
1.15. x ={ 11, 5, -3 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ -1, 0, 1 }, c ={ 2, 5, -3 }.
1.16. x ={ 8, 0, 5 }, a ={ 2, 0, 1 }, b ={ 1, 1, 0 }, c ={ 4, 1, 2 }.
1.17. x ={ 3, 1, 8 }, a ={ 0, 1, 3 }, b ={ 1, 2, -1 }, c ={ 2, 0, -1 }.
1.18. x ={ 8, 1, 12 }, a ={ 1, 2, -1 }, b ={ 3, 0, 2 }, c ={ -1, 1, 1 }.
1.19. x ={ -9, -8, -3 }, a ={ 1, 4, 1 }, b ={ -3, 2, 0 }, c ={ 1, -1, 2 }.
1.20. x ={ -5, 9, -13 }, a ={ 0, 1, -2 }, b ={ 3, -1, 1 }, c ={ 4, 1, 0 }.
1.21. x ={ 2, 7, 5 }, a ={ 1, 0, 1 }, b ={ 1, -2, 0 }, c ={ 0, 3, 1 }.
1.22. x ={ 15, -20, -1 }, a ={ 0, 2, 1 }, b ={ 0, 1, -1 }, c ={ 5, -3, 2 }.
1.23 х= { 10, 1, 11 }, a = { 3, 1, -1}, b ={ 1, -1, 4}, c= { 2, 1, 5}
1.24 x= { 0, 6, -1}, a ={ -1, 2, 1}, b ={ 2, 1, -1}, c= { 1, 2, 2}
2. Даны координаты вершин тетраэдра А1 А2 А3 А4. Найти:
1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем тетраэдра;
6) уравнения прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3;
9) расстояние вершины А4 до грани А1 А2 А3;
10) расстояние вершины А4 до ребра А1 А2.
Указание: все результаты представить точно в виде радикалов, а затем привести их приближенные значения.
А 1 А 2 А 3 А 4
2.1. (1, 3, 6) (2, 2, 1) (-1, 0, 1) (-4, 6, -3)
2.2. (-4, 2, 6) (2, -3, 0) (-10, 5, 8) (-5, 2, -4)
2.3. (7, 2, 4) (7, -1, -2) (3, 3, 1) (-4, 2, 1)
2.4. (2, 1, 4) (-1, 5, -2) (-7, -3, 2) (-6, -3, 6)
2.5. (-1, -5, 2) (-6, 0, -3) (3, 6, -3) (-10, 6, 7)
2.6. (0, -1, -1) (-2, 3, 5) (1, -5, -9) (-1, -6, 3)
2.7. (5, 2, 0) (2, 5, 0) (1, 2, 4) (-1, 1, 1)
2.8. (2, -1, -2) (1, 2, 1) (5, 0, -6) (-10, 9, -7)
2.9. (-2, 0, -4) (-1, 7, 1) (4, -8, - 4) (1, - 4, 6)
2.10. (14, 4, 5) (-5, -3, 2) (-2, -6, -3) (-2, 2, -1)
2.11. (1, 2, 0) (3, 0, -3) (5, 2, 6) (8, 4, -9)
2.12. (2, -1, 2) (1, 2, -1) (3, 2, 1) (-4, 2, 5)
2.13. (1, 1, 2) (-1, 1, 3) (2, -2, 4) (-1, 0, -2)
2.14. (2, 3, 1) (4, 1, -2) (6, 3, 7) (7, 5, -3)
2.15. (1, 1, -1) (2, 3, 1) (3, 2, 1) (5, 9, -8)
2.16. (1, 5, -7) (-3, 6, 3) (-2, 7, 3) (-4, 8, -12)
2.17. (-3, 4, -7) (1, 5, -4) (-5, -2, 0) (2, 5, 4)
2.18. (-1, 2, -3) (4, -1, 0) (2, 1, -2) (3, 4, 5)
2.19. (4, -1, 3) (-2, 1, 0) (0, -5, 1) (3, 2, -6)
2.20. (1, -1, 1) (-2, 0, 3) (2, 1, -1) (2, -2, -4)
2.21. (2, -4, -3) (5, -6, 0) (-1, 3, -3) (-10, -8, 7)
2.22. (1, -1, 2) (2, 1, 2) (1, 1, 4) (6, -3, 8)
2.23. (-1, 2, 4) (-1, -2, -4) (3, 0, -1) (7, -3, 1)
2.24. (0, -3, 1) (-4, 1, 2) (2, -1, 5) (3, 1, -4)
3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 с шагом /8;
2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
3) по уравнению в декартовых координатах определить, какая это линия.
3.1. r =2/(1+cos ). 3.2. r =4/(2-3cos ). 3.3. r =1/(2-2cos ).
3.4. r =10/(2+cos ). 3.5. r =1/(2+2cos ). 3.6. r =1/(2+3cos ).
3.7. r =5/(2-cos ). 3.8. r =8/(3-cos ). 3.9. r =2/(3-4cos ).
|
|
3.10. r =5/(1-2cos ). 3.11 r =4/(3+cos ). 3.12. r =6/4+3cos ).
3.13. r =2/(2+5cos ). 3.14. r =3/(3+4cos ). 3.15. r =2/(3-2cos ).
3.16. r =3/(5-2cos ). 3.17. r =3/(2+4cos ). 3.18. r =5/(2-3cos ).
3.19. r =1/(4-cos ) 3.20. r =1/(3+cos ). 3.21. r =4/(1-cos ).
3.22. r =2/(5-3cos ). 3.23. r =1/(2-3cos ). 3.24. r =6(1+cos ).
4. Решить систему уравнений:
1) методом Гаусса;
2) средствами матричного исчисления (x=A_-1 B);
Указание: вычисления проводить с обычными дробями, не используя десятичных приближений.
4.1. | х1 – х2 + 7х3 = 6 2х1 + 3х2 - 3х3 = 10 3х1 + 2х2 + 5х3 =17 | 4.2. | 4х1 +9х2 + 2х3 = 1 7х1 + х2 - 4х3 = -13 8х1 + 3х2 - х3 = -13 | 4.3. | 8х1 + 4х2 + 3х3 = 7 2х1 + 6х2 - 2х3 = 4 3х1 +10х2 + х3 = 11 |
4.4. | 10х1 + х2 + 3х3 = 19 3х1 + 4х2 + 9х3 = 30 х1 + 2х2 + 2х3 = 7 | 4.5. | 2х1 + х2 + 5х3 = 24 4х1 + 3х2 + 3х3 = 20 х1 + 6х2 + х3 = 6 | 4.6. | х1 + 3х2 + 4х3 = 7 7х1 + 4х2 + 8х3 = 32 3х1 + 2х2 + 5х3 = 14 |
4.7. | х1 + 4х2 + 6х3 = 14 -2х1 +7х2 + 4х3 = 18 3х1 + 2х2 + 2х3 = 6 | 4.8. | х1 + 6х2 + 3х3 = 21 4х1 + 8х2 + х3 = 18 3х1 + 5х2 + 4х3 = 33 | 4.9. | 2х1 + 3х2 + 2х3 = 16 7х1 + х2 - 7х3 = 14 3х1 + 8х2 + 4х3 = 27 |
4.10. | 7х1 + 4х2 + 3х3 = 2 2х1 + 3х2 + 4х3 = -5 х1 + 5х2 - 2х3 = -13 | 4.11. | 3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 + 3х2 + х3 = 1 2х1 + х2 + 3х3 = 11 | 4.12. | х1 - 2х2 + 3х3 = 6 2х1 + 3х2 - 4х3 = 20 3х1 - 2х2 - 5х3 = 6 |
4.13. | 4х1 – 3х2 + 2х3 = 9 2х1 + 5х2 - 3х3 = 4 5х1 + 6х2 - 2х3 = 18 | 4.14. | х1 + х2 + 2х3 = -1 2х1 - х2 + 2х3 = - 4 4х1 + х2 + 4х3 = - 2 | 4.15. | 2х1 - х2 - х3 = 4 3х1 + 4х2 - 2х3 = 11 3х1 - 2х2 + 4х3 = 11 |
4.16. | 3х1 + 4х2 + 2х3 = 8 2х1 - х2 - 3х3 = - 4 х1 + 5х2 + х3 = 0 | 4.17. | х1 + х2 - х3 = 1 8х1 + 3х2 - 6х3 = 2 4х1 + х2 - 3х3 = 3 | 4.18. | х1 - 4х2 - 2х3 = - 3 3х1 + х2 + х3 = 5 3х1 - 5х2 - 6х3 = -9 |
4.19. | 7х1 – 5х2 = 31 4х1 + 11х3 = - 43 2х1 3х2 + 4х3 = -20 | 4.20. | х1 + 2х2 + 4х3 = 31 5х1 + х2 + 2х3 = 20 3х1 - х2 + х3 = 9 | 4.21. | 5х1 + 3х2 - х3 = 4 х1 + 5х2 + 5х3 = 12 3х1 + 4х2 - 2х3 = - 4 |
4.22. | 3х1 + 4х3 = - 5 х1 + 2х2 = 3 х1 + х2 + х3 = 1 | 4.23. | 2x1 + x2 - x3 = 5 x1 + 2x2 +x3 = 1 3x1 - x2 + x3 = 0 | 4.24. | x1 + 2x2 +2x2 = 9 2x1 - x2 +2x3 = 4 3x1 + x2 - x3 = 3 |
5. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы:
5.1. 3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0 5.2. 7x1 + 2x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = 0
2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 x1 - 3x2 + x3 - x4 - x5 = 0
x1 + 11x2 - 12x3 + 34x4 - 5x5 = 0 2x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0
5.3. x1 + x2 + 10x3 + x4 - x5 = 0 5.4. 6x1 - 9x2 + 21x3 - 3x4 - 12x5 = 0
5x1 - x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5 = 0 -4x1 + 6x2 - 14x3 + 2x4 + 8x5 = 0
3x1 - 3x2 - 12x3 - 4x4 + 4x5 = 0 2x1 - 3x2 + 7x3 - x4 - 4x5 = 0
5.5. 2x1 - x2 + 2x3 - x4 + x5 = 0 5.6. 5x1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 - x5 = 0
x1 + 10x2 - 3x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 + 4x2 - 3x3 + 2x4 - 5x5 = 0
4x1 + 19x2 - 4x3 - 5x4 - x5 = 0 6x1 + 2x2 - 2x4 - 6x5 = 0
5.7. 12x1 - x2 + 7x3 + 11x4 - x5 = 0 5.8. x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0
24x1- 2 x2 + 14x3 + 22x4 -2x5 = 0 2x1 - x2 + 3x3 + x4 - 5x5 = 0
x1 + x2 + x3 - x4 + x5 = 0 x1 + 3x2 - x3 - 6x4 - x5 = 0
|
|
5.9. 2x1 - x2 + 3x3 - x4 - x5 = 0 5.10. x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0
x1 + 5x2 - x3 + x4 + 2x5 = 0 x1 - 2x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0
x1 + 16x2 - 6x3 + 4x4 + 7x5 = 0 2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = 0
5.11. 8x1 + x2 + x3 - x4 + 2x5 = 0 5.12. x1 + 3x2 - x3 + 12x4 - x5 = 0
3x1 - 3x2 - 2x3 + x4 - 3x5 = 0 2x1 - 2x2 + x3 - 10x4 + x5 = 0
5x1 + 4x2 + 3x3 - 2x4 + 5x5 = 0 3x1 + x2 + 2x4 = 0
5.13. 7x1 - 14x2 + 3x3 - x4 + x5 = 0 5.14. x1 + 2x2 + 3x3 + x4 - x5 = 0
x1 - 2x2 + x3 - 3x4 + 7x5 = 0 2x1 - 2x2 - 5x3 - 3x4 + x5 = 0
5x1 - 10x2 + x3 + 5x4 - 13x5 = 0 3x1 - 2x2 + 3x3 + 2x4 - x5 = 0
5.15. x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = 0 5.16. 2x1 + x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0
2x1 + x2 - 2x3 - x4 - 2x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 - x4 + 2x5 = 0
x1 + 2x2 + 5x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 - 2x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 0
5.17. x1 + 2x2 - 3x3 + 10x4 -x5 = 0 5.18. 2x1 + x2 - x3 + 7x4 + 5x5 = 0
x1 - 2x2 + 3x3 - 10x4 + x5 = 0 x1 - 2x2 + 3x3 - 5x4 - 7x5 = 0
x1 + 6x2 - 9x3 + 30x4 - 3x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 + 2x4 - 2x5 = 0
5.19. 2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 5.20. 3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0
x1 + 11x2 - 12x3+ 34x4 - 5x5 = 0 x1 + 11x2 -12x3 - 34x4 - 5x5 = 0
x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0 x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0
5.21. 3x1 + 2x2 - 2x3 - x4 + 4x5 = 0 5.22 x1 + x2 +3x3 - 2x4 +3x5 = 0
7x1 + 5x2 - 3x3 - 2x4 + x5 = 0 2x1 + 2x2 + 4x3 – x4 +3x5 = 0
x1 + x2 + x3 - 7x5 = 0 x1 + x2 + 5x3 – 5x4 + 6x5 = 0
5.23 x1 + 2x2 + 3x3 – 2x4 +x5 = 0 5.24 x1 + x2 + x3 + 2x4 +x5 = 0
x1 + 2x2 + 7x3 – 4x4 +x5 = 0 x1 – 2x2 – 3x3 +x4 – x5 = 0
x1 + 2x2 + 11x3 – 6x4 + x5 = 0 2x1 – x2 – 2x3 + 3x4 = 0
Пример решения: 5x1 + 2x2 - x3 + 3x4 + 4x5 = 0
3x1 + x2 - 2x3 + 3x4 + 5x5 = 0
6x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 + 7x5 = 0
Выпишем матрицу системы, нумеруя столбцы (нумеровать строки необязательно):
5 2 -1 3 4
3 1 -2 3 5
6 3 -2 4 7
(1) (2) (3) (4) (5)
и приведем ее к каноническому виду, применяя элементарные преобразования: умножение строки на число, перестановку строк, сложение строк, те же операции со столбцами. При этом следим за переставляемыми столбцами по их номерам.
1) Расположим в левом верхнем углу элемент, равный 1. (Если такого элемента в матрице нет, то следует поделить любой столбец на любой отличный от 0 его элемент). Для этого поменяем местами строки (1) и (2):
3 1 -2 3 5
5 2 -1 3 4
6 3 -2 4 7
(1) (2) (3) (4) (5)
Теперь поменяем столбцы (1) и (2):
1 3 -2 3 5 [-2], [-3]
2 5 -1 3 4
3 6 -2 4 7
(2) (1) (3) (4) (5)
В дальнейшем 1-я строка не подлежит изменению!
2) Сформируем нули во 2-й и 3-й строках первого столбца. Для этого умножим 1-ю строку на 1-й элемент 2-й строки и вычтем из 2-й строки. Так же поступим с 3-й строкой. (Множители указаны в [ ].)
1 3 -2 3 5
0 -1 3 -3 - 6 [ -1]
0 -3 4 -5 -8
(2) (1) (3) (4) (5)
В дальнейшем 1-й столбец не подлежит изменению!
3) Превратим в «1» 2-й элемент на главной диагонали, то есть стоящий во 2-й строке и 2-ом столбце. В нашем примере достаточно умножить на (-1) вторую строку. (В общем случае следует поделить 2-ю строку на этот элемент. Если же он равен 0, то предварительно переставляют строки не трогая 1-й (!), или столбцы не трогая 1-й (!).)
1 3 -2 3 5
0 1 - 3 3 6 [ 3 ]
0 -3 4 -5 -8
(2) (1) (3) (4) (5)
В дальнейшем 2-я строка не подлежит изменению!
4) Превратим в «0» 3-й элемент 2-го столбца. Для этого умножим 2-ю строку на (+3) и сложим с 3-ей.
[ 1 3 -2 ] 3 5
[ 0 1 - 3 ] 3 6
[ 0 0 - 5 ] 4 10
(2) (1) (3) (4) (5)
Под главной диагональю стоят нули, а на самой главной диагонали их нет. Этот вид и является каноническим. (В других вариантах 3-я строка, или даже 2-я и 3-я вместе, могут состоять из одних нулей.) Минор, содержащий ненулевые элементы главной диагонали, является базисным, (здесь он указан скобками [ ]), а исходные номера входящих в него столбцов: (2) (1) (3) -- определяют номера базисных неизвестных; остальные неизвестные – свободные, и члены уравнений, содержащие их, переносят в правую часть.
5) Полученный вид матрицы и деление неизвестных на базисные и свободные позволяют переписать систему так:
x2 + 3x1 -- 2x3 = -- 3x4 -- 5x5
x1 -- 3x3 = -- 3x4 -- 6x5
-- 5x3 = -- 4x4 -- 10x5
и выразить базисные неизвестные через свободные:
x3 = (4/5) x4 + 2x5
x1 = 3x3 – 3x4 – 6x5 = (- 3/5) x4
x2 = -- 3x1 + 2x3 – 3x4 – 5x5 = (2/5) x4 – x5
6) Полученное решение представим в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений, образующей базис в линейном пространстве решений. Таких столбцов столько, сколько свободных неизвестных (здесь = 2).Проще всего последовательно придать одной из свободных неизвестных произвольное ненулевое значение, а остальные свободные неизвестные принять нулями.
В нашем примере удобно взять
1. x4 (1) = 5, x5 (1) = 0. Тогда x1 (1) = - 3, x2 (1) = 2, x3 (1) = 4
2. x4 (2) = 0, x5 (2) = 1. Тогда x1 (2) = 0, x2 (2) = - 1, x3 (2) = 2
Теперь общее решение можно записать так: x = C1 x (1) + C2 x (2). (Здесь С1, С2 – произвольные постоянные), или развернуто:
[x1] = [ - 3 ] [ 0 ]
[x2] = [ 2 ] [ - 1 ]
[x3] = C1 [ 4 ] + C2 [ 2 ]
[x4] = [ 5 ] [ 0 ]
[x5] = [ 0 ] [ 1 ]
Полезно проверить, что столбцы x (1), x (2) являются частными решениями исходной системы, то есть сделать прямую подстановку.
Сформулируем ответ на вопрос задачи: размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных, (т.е. 2), а базисом в этом пространстве могут служить два найденных частных решения: x (1), x (2).
6. Дано уравнение кривой 2-го порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду. Указать тип кривой.
6.1. –x2 – y2 +4xy + 2x – 4y + 1 = 0 6.2. 2x2 + 2y2 -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0
6.3. 2xy + 2x – 2y = 0 6.4. -- 2x2 -- 2y2 +2xy -- 6x + 6y + 3 = 0
6.5. – 3x2 –3y2+4xy-- 6x+ 4y+2= 0 6.6. -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0
6.7. –x2 – y2 -- 4xy -- 4x – 2y +2= 0 6.8. --4x2 -- 4y2 +2xy +10x--10y +1=0
6.9. 2xy + 2x – 2y -- 1 = 0 6.10. x2 + y2 + 2xy -- 8x – 8y + 1 = 0
6.11. x2 + y2 + 4xy -- 8x – 4y +1 = 0 6.12. x2 + y2 -- 2xy -- 2x + 2y -- 7 = 0
6.13. 2xy + 2x + 2y -- 3 = 0 6.14. 4x2 + 4y2 +2xy+12x + 12y +1 = 0
6.15. 3x2+3y2+4xy +8x +12y + 1 = 0 6.16. x2 + y2-- 8xy -- 20x + 20y + 1 = 0
6.17. 3x2+3y2-- 2xy--6x + 2y + 1 = 0 6.18. 4xy + 4x + 4y + 1 = 0
6.19. 3x2+3y2--4xy + 6 –4y -- 7 = 0 6.20. -- 2xy -- 2x + 2y + 3 = 0
6.21. 2x2 + 2y2 +4xy +8x +8y +1 =0 6.22 x2 + y2 – 4xy +4x – 2y +1 = 0
6.23 3x2 + 3y2 – 4xy +4x +4y +1 = 0 6.24 -4xy + 8x +8y +1 = 0
Рассмотрим пример 5x2 + 5y2 -- 2xy + 10x – 2y + 1 = 0
1) Выпишем симметричную матрицу квадратичной формы
5x2 + 5y2 -- 2xy: A= [ 5 -1]
[-1 5 ]
2) Находим собственные значения:
Det (A – E) = = (5 – l)2 – 1 = 0
Корни характеристического уравнения 2 - 10 +24 = 0, очевидно, таковы: 1 = 4,
2 = 6.
3) Найдем собственные векторы матрицы А, рассматривая однородную систему:
(5 – )u1 – u2 = 0
– u1 + (5 – )u2 = 0
При 1 = 4 имеем u1 =u2 и в качестве первого собственного вектора примем
u (1) = (1; 1)T.
(Знак (Т) означает транспонирование.) Нормируем его:
e (1)= u (1) / =(1; 1)T / .
(Напомним: если u = (u1, u2)T, то | u | = .)
При 2 = 6 имеем u1 = -u2. В качестве второго собственного вектора примем u (2) = (1; -1)T и нормируем его:
e (2)= u (2) / | u (2) |=(1; -1)T / .
4) Сделаем замену координат , где матрица перехода S имеет столбцами нормированные собственные векторы e (1), e (2) , то есть .
.
В новых координатах квадратичная форма примет вид
5x2 + 5y2 -- 2xy = l1x12 + l2 y12 = 4x12 + 6y12.
Это следует из общей теории, но полезно использовать равенство
(A x, x) = (AS x 1, S x 1) = (S TAS x 1, x 1) = ( A 1 x 1, x 1), откуда
A1 =S TAS = diag(l1 , l2) = ,
и проверить результат непосредственным матричным умножением.
В новых координатах уравнение кривой примет вид:
4x12 + 6y12 + 5 (x 1+ y 1) -- (x 1 -- y 1) +1 = 0.
7) Параллельным переносом осей координат устраним линейные члены. Соберем члены, содержащие x 1 и выделим полный квадрат:
4x1 2 + 4 x1 = 4(x1 + /2)2 – 2.
Аналогично поcтупим с членами, содержащими y1:
6 y1 2 + 6 y1 =6(y1 + /2)2 – 3.
Делаем замену переменных:
x2 = x1 + /2; y2 = y1 + /2,
в результате которой уравнение кривой принимает вид 4x2 2 + 6y2 2 – 4 = 0, и после деления на свободный член получаем
-- каноническое уравнение эллипса.