Природа инсоляции

Источником практически всей лучевой радиации, попадающей на землю, является Солнце. Солнце имеет форму шара радиусом 695000 км (для сравнения, радиус Земли равен 6400 км). Оно удалено от Земли на расстояние, равное примерно 149,5´10⁶ км (астрономическая единица). Температура поверхности Солнца составляет около 6000 °С, оно излучает в окружающее пространство огромное количество энергии, уменьшаясь при этом ежесекундно на 1 млн. тонн. В стратосферу Земли попадает 1 двухмиллиардная часть –выброшенной Солнцем энергии, но и она составляет примерно 180 биллионов киловатт. К поверхности земли прорывается примерно половина попавшей в стратосферу энергии солнца. Именно эта часть прошедших через атмосферу лучей и создает инсоляцию. Рассмотрим основные закономерности попадания солнечных лучей на поверхность земли, зависящие от взаимного расположения Земли и Солнца.

Земля вращается по некоторой эллиптической орбите со средним расстоянием между ее центром и центром солнца, равным одной астрономической единице. Плоскость, образованная центром солнца и орбитой Земли, называется эклиптикой. В течение года Земля приближается к Солнцу дважды на минимальное расстояние (перигелий) и дважды удаляется от него на максимальное расстояние (афелий). Но эти изменения расстояния не оказывают влияния на периоды года. Поэтому, в дальнейшем будем считать, что земля вращается вокруг Солнца по кругу. Она делает один полный оборот за 365,25 дня с различной скоростью. Для расчета примем количество дней в году – 365, а скорость движения постоянной. Земля вращается вокруг оси, направленной в ограниченное пространство в районе полярной звезды. Так как это пространство очень мало, а расстояние от солнца до земли очень большое, то будем считать, что ось Земли сориентирована в одну точку вселенной, совпадающую с полярной звездой, в течении года перемещается параллельно самой себе. Тогда угол А⁰ между северным направлением оси земли (на полярную звезду) и плоскостью эклиптики остается неизменным в течение года и равным 66°33¢, для расчета примем его равным 66,5° (этот угол в астрономии был определен еще в XVII веке). Введем понятие светового вектора – это вектор, совпадающий со световым лучом, размещенным в плоскости эклиптики и направленный от солнца (рисунок 61).

Рисунок 61 – Схема к периодизации не Земле

Из рисунка видно, что Земля проходит четыре характерные точки. «Л» – летнее солнцестояние, это наиболее жаркое время для северного полушария. В это время самый длительный день и короткая ночь. Угол q между северным направлением оси Земли и световым вектором составляет 113,5°. Другие две характерные точки, обозначенные на рисунке буквами «В» и «О», соответственно, весеннее и осеннее равноденствие, характеризуются тем, что в это время день и ночь равны, а угол q равен 90°. Четвертой характерной точкой, обозначенной буквой «З» (зимнее солнцестояние), характеризуется наиболее холодное время года. В это время наиболее короткие дни и наиболее длинные ночи. Угол q составляет 66,5°. Каждый из указанных периодов наступает соответственно: «Л» – 21-22 июня, «О» – 21 сентября, «З» – 21-22 декабря и «В» – 21-22 марта. Нетрудно заметить, что основной причиной изменения времен года является наклон земли к солнечным лучам, характеризующийся углом q, который в течение года изменяется от 66,5° до 113,5°, при этом угол А⁰ между плоскостью эклиптики и осью земли остается неизменным.

Определим гол q для произвольной точки орбиты. Для этого совместим плоскость эклиптики с ортогональной системой координат (XYZ) таким образом, чтобы ось Х совпала со световым вектором, имеющем направление в точку летнего солнцестояния, ось Y совпала со световым вектором, направленным в точку весеннего равноденствия, ось Z совпала с нормалью плоскость эклиптики, а центр О системы координат совпал с центром солнца (рисунок 62).

Рисунок 62 – Схема к определению угла q

Запишем в аналитической форме векторы и :

(71)

где x₃, y₃, z₃ – координаты центра земли; – разложение по осям соответственно x, y и z единичного вектора , совмещенного с вектором (рисунок 62, б). Для удобства в дальнейшем обозначим угол между векторами и через А=23,5°.

Зная угол А⁰, определим величины проекций единичных векторов

(72)

Тогда уравнение (71) примет вид:

(73)

Вектор в этой системе координат можно записать так:

(74)

где – разложение по осям соответственно x, y и z единичного вектора , совмещенного с вектором (см. рисунок 62). Для определения векторов обозначим угол между световым вектором с положительным направлением оси через В. начало его отсчета совместим с летним солнцестоянием и направим в сторону осеннего равноденствия. Так как световой вектор совмещен с плоскостью эклиптики, то зависимости для определения единичных векторов примут вид:

(75)

тогда (76)

Угол q между двумя векторами можно определить по формуле (77):

(77)

Подставляя вместо векторов разложения и их значения получим: (78)

С учетом того что подкоренные выражения равны единице а угол А⁰=23,5° получим: (79)

Для дальнейших расчетов примем откуда

(80)

Мы выяснили, от чего происходит периодизация на земле по временам года, знаем, как определить угол q как функцию угла В. Теперь увяжем угол q с общепринятым делением года по месяцам и дням. За начало угла В было принято положительное направление, то есть направление на летнее солнцестояние по оси х. Так как летнее солнцестояние наступает 22 июня, то разбив годовой круг на дни и месяцы легко увязать значение угла q с периодами года (рисунок 63). На рисунке показаны значения угла В по месяцам определенное в соответствии с зависимостью (80). Цена деления равна 5°.

Рисунок 63 – График определения углов В и q

Примеры.

1. Определить угол q для летнего солнцестояния.

Решение: Для летнего солнцестояния угол В = 0°. Подставляем значение угла В в выражение (80):

2. Определить угол q для зимнего солнцестояния.

Решение: Для зимнего солнцестояния угол В = 180°. Подставляем значение угла В в выражение (80):

3. Определить угол q для 1 января.

Решение: Для 1 января найдем на графике линию раздела декабря и января, угол В = 184,6°. Подставляем значение угла В в выражение (80):

4. Определить угол q для 20 октября.

Решение: Точку 20 октября можно приближенно найти на графике, считая, что 1°» 1 дню. Таким образом, отмерив от линии раздела «сентябрь – октябрь» угол 20° (» 20 дней) определим угол В = 120°. Подставляем значение угла В в выражение (80):

Приведенные задачи можно решить и не прибегая к графику (рисунок 63). В этом случае угол В можно определить, как смещение по дням (один день примерно равен одному градусу) расчетного времени по отношению к летнему солнцестоянию, а затем определить q оп зависимости (55).

Итак, мы научились определять угол между световым вектором и осью Земли, знаем, для чего он нам нужен. Теперь вспомним некоторые детали о Земле, как небесном теле.

Земля имеет форму эллипсоида вращения. Малая полуось направлена к полюсу и равна 6,356863 км и большим радиусом, размещенным в экваториальной плоскости, равным 6,378245 км, следовательно, разность между полуосями составляет 21 км 382 м. Указанные расхождения слишком малы по сравнению с радиусом Земли, поэтому в дальнейшем будем считать, что Земля имеет форму шара с диаметром, равным 12,573 км. Вращается земля вокруг оси с постоянной скоростью и делает полный оборот за 23 часа 56 минут. В дальнейшем будем считать время полного оборота Земли вокруг оси равным 24 часа. Следует подчеркнуть, что речь будет идти только о географической оси и, соответственно, о географических полюсах (магнитный полюс Земли смещен по отношению к географическому на 11°5¢).

Для определения точки на поверхности земли введена система координат, состоящая из параллелей и меридианов. За нулевую параллель принят экватор. Экватор – воображаемая линия, проходящая вокруг земного шара на равном расстоянии от обоих полюсов и делящая земной шар на северное и южное полушария. Плоскость, проходящая через центр Земли и совмещенная с экватором, называется экваториальной плоскостью. Линии, образованные пересечением поверхности земли плоскостями, параллельными экваториальной плоскости, называются параллелями. Параллели друг от друга размещены на определенном расстоянии, измеряемом в угловой мере, которое называется широтой местности. Широта местности – это угол между экваториальной плоскостью и линией, проходящей через центр Земли и исследуемую точку на поверхности земли (рисунок 64).

Общепринято разделять широты на северные (широты от экватора к северному полюсу) и южные (широты от экватора к южному полюсу). На основании изложенного выше, широты изменяются от Ш = 0° до Ш = 90° северной широты (Северный полюс), и от Ш = 0° до Ш = 90° южной широты (Южный полюс).

Рисунок 64 – Координатная сетка поверхности Земли

Другой координатной линией является меридиан. Меридиан – воображаемая замкнутая кривая, образованная пересечением поверхности Земли и плоскости, проходящей через полюса Земли и ее центр. За нулевой принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию вблизи Лондона. Расстояние между меридианами измеряется длиной параллели, заключенной между ними, выраженной в угловой мере. Эту угловую величину называют долготой. Долгота – это угол между линией, образованной пересечением нулевой меридиальной плоскости с плоскостью, параллельной экватору и линией, образованной пересечением этой же, параллельной экватору плоскости, и меридиальной плоскости, проходящей через расчетную точку. Долготы есть восточные – от Гринвича на Восток против вращения Земли, и Западные – от Гринвича на Запад за вращение Земли. Долготы измеряются: восточная – от 0° до 180° и западная – также, от 0° до 180°. Не трудно посчитать, что при повороте Земли на 1° точка на экваторе сместится примерно на 111 км. Кроме этого, любая точка на поверхности земли сместится относительно своего первоначального положения на 15°. Линейные значения смещения будут зависеть от широты местности. Например, скорость точки на поверхности земли на экваторе составляет 28 м/сек, скорость точки на северном полюсе равна 0 м/сек, а районе г. Харьков (50° северной широты) составляет 17,6 м/сек.

Мы рассмотрели координатную сетку на поверхности Земли, но есть еще один очень важный фактор, имеющий непосредственное отношение к инсоляции – время.

Время – это длительность существования какого-то процесса, явления и т.п. Мы не будем касаться деталей этого сложного, и, в то же время, обычного явления окружающей нас действительности, а используем только понятие времени и его измерения.

С незапамятных времен человек заметил в окружающем его мире постоянные повторения отдельных явлений. Например, после лета наступает осень, затем зима, весна и снова лето, и так этот процесс повторяется постоянно. Сейчас мы знаем, что этот процесс обусловлен одним полным оборотом Земли вокруг Солнца. Эта единица измерения времени не имеет альтернативы во всем мире. Все народы на земле вели свое летоисчисление в годах или единицах, обусловленных годовыми циклами. Другой единицей времени, также не имеющей альтернативы, являются сутки – один полный оборот Земли вокруг своей оси. За начало отсчета суток взят момент, когда центр диска Солнца кульминирует, то есть, подымается наиболее высоко над горизонтом. Это истинный солнечный полдень (12 часов дня). Промежуток времени, проходящий между двумя последовательными полуднями называется истинными солнечными сутками. Земля движется по орбите не равномерно: медленнее в афелии и быстрее в перигелии. Об этом уже было сказано и, следовательно, расстояние, которое она проходит за сутки по орбите, будет разное, что создает неудобства для отсчета времени. Действительно, если разделить годовую орбиту Земли на равные по длине участки, соответствующие количеству дней в году, то истинные сутки не будут совпадать с этими участками, в частности, в афелии будут обгонять, а в перигелии отставать. Если же разделить длину орбиты на участки, соответствующие истинным солнечным суткам, то это так же будет неудобно, так как повлечет за собой усложнения при расчетах, введение таблиц перехода и тому подобное. Кроме того, создает определенные неувязки и то, что ось Земли наклонена к плоскости эклиптики. В результате Солнце движется в зависимости от времени года не строго по экватору, а в пределах тропического круга. Для выхода из этой ситуации истинное солнечное время заменено средним солнечным временем. Последнее отсчитывают по воображаемому Солнцу, движущемуся равномерно по экватору, а не в пределах тропической зоны, и совершающее полный оборот в течение того же времени, что настоящее Солнце. Разность между средним и истинным временем достигает 16 минут. При расчете этой разностью можно пренебречь. Средние солнечные сутки постоянны по продолжительности, их можно делить на равные участки. На основании сказанного был введен 1 час = 1/24 суток. В свою очередь, час разделен на 60 минут, а минута на 60 секунд. Среднее солнечное время обычно называют местным временем, и мы будем придерживаться этого термина. Обусловлено это тем, что истинный полдень наступает в тот момент, когда среднее Солнце проходит через меридиан местности, из которого проводят наблюдения. Местное время для каждого меридиана свое. Итак, местное время можно определить для любой точки земной поверхности по известному местному времени конкретной точки и ее долготе (рисунок 65).

Рисунок 65 – Схема к определению местного времени

На рисунке изображены точки А и Б. В точке А известно местное время. Обозначим его через Т_А. Долгота точки l_А. Пусть долгота точки Б будет l_Б, тогда разность между долготами точек Dl составит:

(81)

Разность долгот нетрудно представить в часах (см. приведенные выше рассуждения). Тогда время Т_Б в точке Б можно определить из зависимости:

(82),

где DТ – разность долгот, выраженная в часах. Знак «+» величина DТ принимает при размещении расчетной точки на восток от исходной, и «–» при размещении расчетной точки на запад. Таким способом можно найти местное время в любой точке земного шара.

Пример. Определить местное время в Петропавловске-Камчатском, если местное время в Харькове равно 12 часов 30 минут.

Решение: Харьков размещен на меридиане, имеющем восточную долготу l_{Харьков}= 37°. Петропавловск–Камчатский размещен на меридиане с восточной долготой l_{Петропавл}= 160°. В соответствии с зависимостью (56) имеем:

Представим градусы в часах и минутах. Мы знаем, что сутки делятся на 24 часа, тогда за 1 час Земля поворачивается на 15°. Следовательно, разность меридианов во времени будет:

или 8 часов 12 минут.

Тогда в соответствии с зависимостью (57):

Очень часто при расчетах движения космических тел или явлений, имеющих отношение ко всех Земле, используют мировое время. Это время нулевого Гринвичского меридиана. Оно не зависит от долготы местности. Определить местное время по известному мировому и долготе достаточно просто, так как долготу отсчитывают от нулевого меридиана, то ее можно выразить в часах (1 час = 15°), а для того, чтобы получить время на нулевом меридиане, достаточно из местного времени вычесть (прибавить) долготу, выраженную в часах:

(83),

где Т₀ – время нулевого меридиана; Т_М – местное время; DТ₀ – долгота, выраженная в часах.

Знак долготы из выражения зависит от того, где находится наблюдатель: в восточном или западном полушарии. Если в восточном полушарии – то знак «+», если в западном – то знак «–» (см. приведенные выше рассуждения).

Пример. Определить мировое время Т₀, если известно, что местное время в Москве равно 3 часа 20 минут.

Решение: Москва размещена на меридиане с восточной долготой 28°.

Найдем разность долгот Москвы и Гринвича в соответствии с выражением (56):

восточной долготы.

Переведем Dl в часы:

Определим местное время по известному мировому с учетом зависимости (58).

Местное время не удобно для гражданской жизни человека, так как каждый город должен иметь свое время. Даже в одном городе местное время отличается для различных его частей. Например, Харьков имеет в поперечнике протяженность 20 км. Это значит, что местное время на восточной окраине будет опережать местное время на западной окраине примерно на 43 секунды. С учетом этого ученые ввели поясное время. Принцип введения поясного времени таков: весь земной шар разбит на 24 пояса вокруг меридианов. Таким образом, границы этих поясов отстоят друг от друга по долготе на 15°, что соответствует 1 часу времени. Внутри каждого часа принимается время его центрального меридиана. На всей площади, находящейся внутри нулевого (Гринвичского) меридиана, принимается время Гринвича. В первом (среднеевропейском) поясе принимается время на час вперед по сравнению с Гринвичем. Во втором поясе находится Москва, Санкт-Петербург, Белгород и ряд других городов. Во всех этих городах поясное время опережает время Гринвичское на два часа. Главное достоинство этого времени заключается в том, что время различных поясов отличается друг от друга на целое количество часов, при этом минуты и секунды на всей земле остаются неизменными.

Пример. Определить время в Верхоянске, если известно, что в Белгороде оно равно 13 часов 20 минут 10 секунд.

Решение: Белгород размещен во втором часовом поясе, а Верхоянск в девятом. Разность во времени составляет 7 часов. Следовательно, время в Верхоянске будет равно 13ч. 20мин. 10сек. + 7ч. = 20 ч. 20 мин. 10 сек.

Границы поясного времени устанавливать точно по меридиану не целесообразно потому, что один и тот же город может оказаться в двух часовых поясах, если его пересечет часовой меридиан, поэтому границы между соседними поясами часто проводят по рекам, хребтам, дорогам.

Кроме поясного времени широко используют декретное время. Это время, увязанное в основном с хозяйственной деятельностью человека. В России такое время вводят с 1985 года летом, так называемое летнее время. Переход осуществляется в последнее воскресенье марта, переводом стрелки часов на 1 час вперед и длится оно до последнего воскресенья сентября. После опять переходят на поясное время, то есть московское. Переход на декретное время обусловлен экономическими соображениями. Это позволяет более рационально расходовать электроэнергию. С 1990 года Украина отменила декретное время СССР на своей территории.

Итак, уяснив, что такое долгота, широта, параллели, меридианы и время, рассмотрим более детально особенности движения Солнца по небу. Выведем некоторые закономерности этого движения, без понимания которых расчет инсоляции не возможен. Представим себе такую картину: на поверхности Земли на одном меридиане, но в разных широтах Ш = 0°, Ш = 45° и Ш = 90° находятся три наблюдателя, которым поставлена задача – нарисовать траекторию движения солнца в течение дня, соответственно для равноденствия, летнего и зимнего солнцестояния. На полученном рисунке солнечные лучи изображены параллельными, а на самом деле они радиальные, сходящиеся к солнцу, но угол между лучами ничтожно мал. В самом деле, угол между лучами, падающими на полюс и экватор, составляет:

(84),

где R_Земли– радиус Земли (» 6000 км); L_{Земля-Солнце}– расстояние от Земли до Солнца (» 150000 км). Подставляя R_Земли и L_{Земля-Солнце} в выражение (80) получим a = 0,002°, чем можно пренебречь.

Наблюдатели на рисунке изображены точками. Для наглядности выполнен разрез Земли плоскостью, перпендикулярной эклиптике и проходящей через центр Земли. Это сделано для того, чтобы наблюдатели на схеме были изображены точками в полдень.

В ряду 4´4 изображены схемы наблюдателей на поверхности Земли в течение светового дня. В позиции «в» показаны схемы траекторий, увиденных каждым из наблюдателей.

Рисунок 66 – Про Солнце и наблюдателей

Рассмотрим равноденствие (колонка 1). В этом случае угол q = 90° (см. рисунок 66). Для наблюдателя 1 солнце взойдет точно на востоке (см. позицию «в»), пройдет точку зенита «z₁» и сядет на западе. Для наблюдателя 2 солнце взойдет точно на востоке, пройдет наиболее высокую точку «z₂» и сядет точно на западе. Угловую высоту h₂, под которой наблюдатель увидит солнце в полдень, легко определить из строки «а». Наблюдатель 3 будет видеть солнце скользящим по горизонту. В период зимнего солнцестояния q = 66,5° (см. колонку 2), те же наблюдатели увидят совершено другую картину. Для наблюдателя 1 на экваторе (Ш = 0) Солнце взойдет точно на востоке, затем подымится до наиболее высокой точки «z₁» с угловой высотой h₁, которую легко найти по разрезу, и сядет точно на западе. Наблюдатель 2 увидит восход Солнца несколько смещенным от точки востока в сторону севера в точке В₂, затем Солнце подымится в точку «z₂» и сядет в точку, смещенную от истинного запада на север. Угловая высота h₂также может быть определена с помощью разреза. Наблюдатель на полюсе Солнца вообще не увидит.

Летнее солнцестояние q = 113,5° (см. колонку 3) имеет свою специфику. Наблюдатель на экваторе увидит восход солнца точно на востоке, затем оно подымится в точку «z₁» с угловой высотой h₁ (h₁ > 90°). Это значит, что наблюдатель на экваторе увидит солнце в северном полушарии, затем оно сядет точно на западе. Наблюдатель 2 увидит восход солнца смещенным к югу, затем оно подымится в точку «z₂» и опустится в точку заката, смещенную на юг от точки запада. Наблюдатель 3 увидит солнце над горизонтом на постоянной высоте, равной углу между перпендикуляром к плоскости эклиптики и осью Земли. Этот угол равен 23,5°.

Мы рассмотрели некоторые закономерности движения Солнца по небу. Выяснили, что оно подымается с наибольшей угловой высотой ровно в полдень по местному времени. Так как Земля вращается равномерно (мы это приняли в предыдущих рассуждениях), с угловой скоростью 15 °/час, то очевидно, Солнце должно опуститься к некоторой наиболее низкой точке к горизонту и, очевидно, что это произойдет ровно через половину суток, то есть 12 часов. Таким образом, наиболее низкой точки Солнце достигает в 24 часа (полночь). Эта точка во всем мире принята за начало отсчета времени суток (0 часов). Определим эти экспериментальные точки. Подобного рода задачу решить легко, так как именно в эти два момента угол q, и угол, под которым находится Солнце, находятся в одной плоскости. Во все остальные часы суток угол q уходит из этой плоскости.

Рисунок 67 – Схема к определению угловой высоты Солнца

Из рисунка 49 видно, что:

(85)

Аналогично определим мнимую высоту солнца:

(86)

на рисунке мнимое солнце ушло под горизонт, поэтому оно показано со знаком «–». Проверим выведенные зависимости и результаты сведем в таблицу 12.

Таблица 12 – Исходные данные и результаты расчета высоты Солнца

Задача	Исходные данные	Результаты расчета	Схема
№	позиция	q	Ш	h₀	h_·
1	а	113,5° летнее солнцестояние 22.06	экватор	113,5	-66,5
б	полюс	23,5	23,5
в	Харьков	63,5	-16,5
2	а	66,5° зимнее солнцестояние	экватор	66,5	-113,5
б	полюс	-23,5	-23,5
в	Харьков		-63,5
3	а	90° равноденствие	экватор		-90
б	полюс
в	Харьков		-40

Сопоставляя полученные данные с рассчитанными ранее, а так же имеющимися в литературе, можно заключить, что зависимости (84) и (85) верны. Указанные величины позволяют определить высоту солнца в полночь и полдень, а так же определить точки его восхода и заката. Они будут на пересечении линий горизонта и линии, соединяющей Солнце в двух противоположных точках. Однако, всего этого не достаточно для определения траектории Солнца. Здесь необходимо знать высоту Солнца не только в полдень (полночь), но и любое время суток.

Для решения задачи возьмем произвольную широту, пусть это будет лето, и изобразим некоторую экспозицию (рисунок 68).

Рисунок 68 – Схема к расчету высоты Солнца

На рисунке изображена траектория движения Солнца в один из летних месяцев в северном полушарии. Признаки: Солнце в полдень сориентировано точно на юг по отношению к наблюдателю Т, восходит в точке В (восход) слева, если смотреть на юг, и заходит на западе справа. Определим высоту Солнца в полдень H₁ и условную высоту солнца Н₂ в полночь, зная соответствующие высоты солнца h₀и h_·, и приняв радиус полусферы R_п равным 1. Тогда:

(87)

Подставляя в полученные выражения значения h₀и h_· из зависимостей (60) и (61) получим:

(88)

Плоскость, в которой вращается Солнце, как бы поднята над плоскостью горизонта, а ее центр Т является центром основания конуса с вершиной в точке Т. Образующей этого конуса является радиус полусферы единичного радиуса. При этом телесный угол у вершины конуса зависит от угла q, то есть от времени года. С изменением широты, конус будет поворачиваться вокруг точки Т меридиальной плоскости, оставаясь неизменным.

Для большей наглядности разрежем экспозицию меридиальной плоскостью (меридиальная плоскость проходит по линии север – юг), как показано на рисунке 69.

Рисунок 69 – Схема к расчету траектории Солнца

Так как основанием конуса является окружность с радиусом R, причем солнце делает полный оборот по ней ровно за 24 часа с постоянной скоростью, то ее можно разбить на часовые секторы с началом отсчета от точки ПН (полночь – 0 часов). В момент полудня (12 часов), т.е. пройдя половину круга, солнце достигает наибольшей высоты.

Но так как общепринято отсчитывать азимут от южного направления за часовой стрелкой, то и мы будем придерживаться этого правила, то есть угол А° будем отсчитывать за часовой стрелкой. Зная радиус основания конуса и угол А° найдем проекцию r линии, соединяющей точки Т₁ и С (см. рисунок 70), на линию пересечения меридиальной плоскости и основания конуса:

(89)

Подставив значение r, получим:

(90)

Справедлива пропорция:

(91)

Подставляя в выражение (89) значение r из (85), и учитывая, что Н₃=Н₁-Н₂ найдем:

(92)

С учетом выражения (89) и зная, что h=H₄–H₂, получим:

(93)

По зависимости (93) можно рассчитать высоту солнца над горизонтом для любого времени суток и периода года. Для определения угловой высоты Солнца можно воспользоваться зависимостью:

(94)

Примеры.

1. Определить высоту стояния Солнца в 12 часов дня на экваторе в период летнего солнцестояния.

Решение: Определим параметры, входящие в выражение (94).

Угол q определим по выражению (69) или по графику (см. рисунок 69). q = 113,5°. Широта экватора Ш = 0. Для времени 12 часов угол А₀ = 0. Подставляя полученные значения в выражение (94) получим: