С дискретным спектром

Пусть на цепь воздействует сигнал в виде периодического не­синусоидального напряжения или тока, которые можно предста­вить рядом Фурье в виде суммы бесконечного числа гармоник. Требуется определить выходной сигнал, которым является ток в ветви или напряжение на одном из ее элементов.

Известно, что комплексные амплитуды синусоидального тока частоты ω, протекающего в ветви, и. напряжения, приложенного к ней, связаны простыми соотношениями:

где Υ(jω,) и Z(jω) —комплексные проводимость и сопротивление ветви, рассчитанные на частоте ω.

Если приложенное напряжение сложной формы можно пред­ставить в виде суммы ряда гармонических составляющих

. (17.1)

то на каждой из частот можно записать:

где Y(jω) и Z(jω_k) —комплексные проводимость и сопротивление, рассчитанные на частоте ω_k.

Это позволяет найти амплитуды и начальные фазы гармониче­ских составляющих выходного сигнала:

где z(0) —сопротивление ветви постоянному току (при ω==0);

z(ω_k) —полное сопротивление ветви на частоте ω,.;

r и х(ω_k) — активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления.

Таким образом, ток в цепи на основании метода наложения легко определить как сумму:

Пример 17.1.

Найти ток i(t), потребляемый от источника в схеме (рис. 17.1), если e(t) = 30 + 15 sin ωt + 20 sin3ωt. В; r_l = 1 к о м; ωL = 1 ком; r₂ = 0.5 к о м;

1/ωC = 1 ком.

Решение.

1. Комплексные сопротивления цепи и комплексные амплитуды гармоник тока:

2. Мгновенное значение потребляемого от источника тока

мa.

Комплексные сопротивления Z(jω) и проводимости Υ(jω) яв­ляются частными случаями более общего понятия — комплексной функции цепи.

Представим сигнал, действующий на входе цепи, в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Комплексная амплитуда каждой из гармоник выходного сиг­нала определяется как произведение комплексной ампли­туды соответствующей гармоники входного сигнала на соответствующую комплексную функцию цепи _:

Где .

Отсюда на основании принципа наложения находим выраже­ние выходного сигнала

Если входной сигнал (17.5) представить рядом Фурье в веще­ственной форме:

то сигнал на выходе найдем в аналогичной форме как

Таким образом, АЧС сигнала на выходе может быть получен перемножением АЧС входного сигнала на модуль комплексной функции цейи, а его ФЧС — суммированием ФЧС входного сиг­нала со значениями аргумента комплексной функции цепи на со­ответствующих частотах. Метод расчета основан на использова­нии разложения сигналов в ряд Фурье. При расчете:

входной сигнал представляют в виде ряда Фурье;

определяют необходимую входную или передаточную комплекс­ную функцию цепи;

комплексные амплитуды гармонических составляющих выход­ного сигнала рассчитывают по формуле (17.6) как произведение комплексных амплитуд входного сигнала на комплексную функ­цию цепи.