При расчете прохождения непериодических сигналов спектральным методом используются прямое и обратное преобразования Фурье (16.3) и (16.4). Представление непериодической функции в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование бесконечного числа незатухающих и бесконечно близких по частоте синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами. Это дает возможность применять к бесконечно малым гармоническим составляющим токов и напряжений обычные методы расчета установившихся режимов, а затем, пользуясь методом наложения, определять результирующие напряжения и токи. Ценность такого подхода заключается в том, что анализ переходного режима сводится к анализу установившихся режимов.
Предположим, что на линейную цепь, комплексная функция K(j ω) которой известна, подается сигнал fBX(t). Интеграл Фурье позволяет представить этот сигнал наложением бесконечного числа гармоник с комплексными: амплитудами .
Очевидно, комплексные амплитуды соответствующих гармоник выходного сигнала определяются произведением
а спектральная плотность выходного сигнала
равна произведению спектральной плотности входного сигнала на соответствующую комплексную функцию цепи,
Значение выходного сигналa какфункции времени находим с помощью обратного преобразования Фурье наложением бесконечно большого числа его гармонических составляющих:
Таким образом, по известной комплексной функции цепи и спектральной плотности входного сигнала с помощью обратного преобразования Фурье можно рассчитать реакцию цепи на любое заданное воздействие.
Расчет обычно ведут в такой последовательности:
находят спектральную плотность SBX(jω) входного сигнала;
определяют необходимую входную или передаточную функцию цепи;
рассчитывают спектральную плотность выходного сигнала по формуле (17.11) как произведение SBX(jω) на комплексную функцию цепи;
сигнал на выходе находят с помощью принципа наложения как сумму реакций цепи на каждое из воздействий в отдельности.
Пример 17.3.
На простую rC-цепь (см. рис. 6.6, α) действует одиночный прямоугольный импульс малой длительности () с амплитудой Um. Найти напряжение на выходе.
Решение.
1. Спектральная плотность входного сигнала:
т. е., так как , импульс на входе цепи можно представить δ (t) -функцией с площадью UmtИ, характеризующейся сплошным спектром. Таким образом, задачу удается свести к нахождению реакции на воздействие δ(t)-функции.
2. Комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению:
3. Спектральная плотность выходного си г нала:
4. Сигнал на выходе цепи:
так как
Пример 17.4
На простую rC-цепь (см. рис. 6.6, а) действует одиночный прямоугольный импульс конечной длительности tИ с амплитудой Um. Найти напряжение на выходе.
Решение.
1. Спектральная плотность выходного си г нала:
2. Сигнал на вых о де цепи:
так как 2j sin jx = е-x - еx.
Форма импульса на входе и выходе цепи при разных п о стоянных времени τ=rC показана на рис. 17.3.