Реактивных двухполюсников

Реактивными двухполюсниками называют двухполюсники, со­ставленные лишь из элементов L и С. Так как первоначально за­пасенная энергия в таких двухполюсниках не расходуется на теп­ловые потери, то процесс свободных колебаний в таких цепях носит неза­тухающий характер. Следовательно, все нули полиномов знаменателей Z (p) и Υ(ρ), а так как Z(p) = 1/Y(р), то и все нули полиномов числителей Z(p) и Υ(ρ), как показано в подразд. 18.4, должны располагаться на мнимой оси, быть простыми и сопряженными, за исключением нуля при jω=0.

При изменении р вдоль мнимой оси, т. е. при p=jω, веществен­ная часть функций Z(p) и Υ(ρ) равна нулю, так как реактивный двухполюсник не потребляет активной мощности. Мнимая часть этих функций, т. е. мнимая частотная характеристика, является нечетной функцией частоты ω. Поэтому каждую из этих функций можно представить как отношение четной функции А(р²) к нечет­ной рВ(р²) или, наоборот, как отношение нечетной функции к четной.

Для выяснения характера функций A(р²) и рВ(р²) подключим ко входным зажимам реактивного двухполюсника последовательно соединенные источник э. д. с. е и активное сопротивление r (рис. 20.1).

Входная операторная проводимость полученной цепи по отно­шению к зажимам источника э. д. с. е

. (20.1)

Входное операторное сопротивление Z(p), как было показано выше, можно представить в виде

Z (р) = A (ρ'-)/ρβ (/;-•) или . (20.2)

Подставив выражение (20.2) в формулу (20.1), получим

или

Знаменатели этих выражений являются характеристическими полиномами цепи, схема которой изображена на рис. 20.1. Так как эта цепь содержит активное сопротивление r, то процесс свобод­ных колебаний в ней будет носить затухающий характер, а следо­вательно, полиномы знаменателей (20.3) являются полиномами, нули которых расположены в левой полуплоскости р, т. е. поли­номами Гурвица.

В подразд. 18.5 было показано, что полином Гурвица можно представить в виде суммы четной и нечетной частей (18.51)

и что при умножении четной или нечетной части этого полинома на положительную постоянную величину получим новый полином, являющийся также полиномом Гурвица. Следовательно, поли­номы A(p²) и рВ(р²) являются четной и нечетной частями поли­нома Гурвица, одна из которых умножена на постоянный положи­тельный множитель r,

Таким образом, необходимым условием того, чтобы заданная функция оператора р былавходной операторной функцией реак­тивного двухполюсника, является то, чтобы она была дробью, представляющей собой отношение четной и нечетной или, наобо­рот, нечетной и четной частей полинома Гурвица. Учитывая свой­ства четной и нечетной частей комплекса полинома Гурвица, уста­новленные в подразд. 18.5, можно сделать вывод о том, что нули и полюсы входной операторной функции реактивного двухполюс­ника на мнимой оси являются простыми и взаимно чередующи­мися. Такие функции называют реактансными.

Из полинома Гурвица нечетной степени n=2v +l

взяв отношение нечетной его части к четной и, наоборот, четной части к нечетной, получим два вида операторных входных сонро-тивлений некоторых реактивных двухполюсников:

где

Аналогичным образом из полинома Гурвица четной сте­пени n =2 v +2

получим

где .

Так как входная операторная проводимость обратна Z(p), то для реактивных двухполюсников она будет выражаться в виде, аналогичном (20.5) —(20.8).

В следующем подразделе покажем, что указанные выше необ­ходимые условия для функций реактивных двухполюсников яв­ляются также и достаточными.