Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа в пористой

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемой жидкости по закону Дарси в деформируемой пористой среде, выведенному в гл. 1:

(2.1)

Считаем, что фильтрация происходит по закону Дарси, а проницаемость и динамическая вязкость постоянны:

(2.2)

Используем уравнения состояния идеального газа

(2.3)

а пористою среду считаем несжимаемой (m = const). Это связано с тем обстоятельством, что газ сжимается гораздо больше, чем пористая среда. Подставим скорости фильтрации в уравнение неразрывности

(2.4)

Введем понятие функция Лейбензона, которая определяется следующим образом:

(2.5)

Для идеального газа функция Лейбензона определяется следующим образом

(2.6)

Преобразуем производную от плотности по времени. Будем считать, что плотность зависит от давления, а давление зависит от функции Лейбензона, тогда:

(2.7)

Подставим производную от плотности по давлению в уравнение (2.4)

(2.8)

где - коэффициент пьезопроводности для газового пласта, м²/с.

Полученное уравнение нестационарной фильтрации газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Для нелинейных уравнений не действует принцип суперпозиции решений, поэтому получить аналитическое решение конкретной задачи в общем виде затруднительно. Поэтому для того, чтобы уравнение сделать линейным (линейные уравнения относительно просто решаются) необходимо множитель перед круглой скобкой в уравнении (??) сделать постоянным. Так, как в большей части пласта давление близко к контурному, то заменим в множителе давление на среднее давление в пласте, тогда и уравнение запишется

Сравнение уравнений неустановившейся фильтрации жидкости и лианеризиравнных уравнений неустановившейся фильтрации газа позволяет установить аналогию между этими уравнениями. Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для неустановившейся фильтрации жидкости по закону Дарси, можно использовать и для неустановившейся фильтрации идеального газаа в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях. Для этого необходимо в формулах неустановившейся фильтрации жидкости заменить:

линейную скорость - u Þ u_m - массовую скорость;

объемный расход - Q Þ Q_m = ρ_ат Q_ат - массовый расход;

давление - p Þ - функцию Лейбензона;