Изучение колебаний системы с одинаковыми парциальными частями

В этом случае жесткости собственных пружин отдельных частей одинаковы:

Предположим, что в произвольный момент времени первое тело смещено от его положения равновесия

на, и движется со скоростью. Второе тело имеет смещение, а скорость его

равна. Тогда на первое тело действует сила упругости собственной пружины, сила упругости пружины связи и сила вязкого трения,

направленная против скорости и пропорциональная первой степени её, где m - коэффициент трения. На второе тело действует сила упругости собственной пружины, сила упругости пружины связи и сила вязкого трения. По второму закону динамики можно записать уравнения движения для каждого тела:

Разделив обе части каждого из уравнений на массу и вводя обозначение, уравнения движения перепишем в виде:

Для решения уравнений движения введём новые переменные:

Складывая и вычитая исходные уравнения, получим дифференциальные уравнения в новых переменных:

Эти уравнения аналогичны по форме дифференциальным уравнениям затухающих колебаний для колебательных систем с одной степенью свободы, поэтому их решения запишем сразу в виде:

Переходя теперь к прежним переменным, находим в общем виде законы движения тел системы:

Частоты отдельных составляющих ω₁ и ω₂ как это легко показать из (407) и (408), равны:

При найденных законах движения отдельных тел системы их скорости для произвольногомомента времени равны:

В исходный момент времени t = t₀ = 0 значения начальных смещений и скоростей равны:

Для определения амплитуд отдельных составляющих и начальных фаз начальные условия удобнее переписать в виде:

Из этих выражений легко подучить искомые величины:

Выражения (409), (410), (411), (412) позволяют записать конкретные законы движения тел системы в различных частных случаях.

а). Оба тела отводятся отих положений равновесия на одно и то же расстояние А в одну сторону и без толчка отпускаются. Начальные смещения и начальные скорости тел в этом случае равны: х₁₀ =х₂₀= А, v₁₀ =v₂₀=0.

Как следует из (410), амплитуда второй составляющей колебания обращается в нуль, и оба тела будут совершать затухающие колебания с одинаковой частотой ω₁.

Амплитуда первой составляющей из (409) равна:

а начальная фаза из (411) определяется равенством

С учётом этого законы движения тел системы имеют вид:

т.е. колебания тел происходят по совершенно одинаковым законам.

б). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - на такое же расстояние, но в противоположную сторону. Оба тела затем без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости тел равны: х₁₀ =A, х₂₀=-A,v₁₀ =v₂₀=0.

Из (409) следует, что на этот раз амплитуда первой составляющей равна нулю, т.е. оба тела должны совершать колебания с частотой ω₂.

Из (410) и (412) находим амплитуду второй составляющей b и начальную фазу φ₂:

Законы движения тел системы при этих значениях представляются в виде:

Как видно, колебания тел в этом случае отличаются только фазой, тела колеблются в противофазе.

в). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - удерживается в своём положении равновесия. Затем оба тела без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости при этом равны: x₁₀ = А, х ₂₀ =0, v₁₀ = v₂₀ = 0.

Из выражений (409), (410), (411), (412)находим амплитуды составляющих и начальные фазы:

Законы колебаний тел для такого случая принимают форму:

Следовательно, в этом случае колебания каждого из тел представляют собой суперпозицию двух затухающих колебаний с частотами ω₁ и ω₂, равными главным частотам.

Но рассмотрение предыдущих двух случаев показывает, что и для системы с трением можно подобрать такие начальные условия, что в системе будут осуществляться только нормальные колебания.