Колебания системы с различными парциальными частями

Предположим, что в рассмотренной системе парциальный части различны, т.е. k₁ ≠ k₂. Если в произвольный момент времени первое тело смещено из своего положения равновесия

на x₁, а второе - на х₂; из его положения равновесия, а скорости тел при этом равны и

то на первое тело действуют силы упругости собственной пружины –k₁x₁, упругости пружины связи – k₀ (х₁ – х₂), вязкого трения. На второе тело действуют силы

упругости собственной пружины –k₂x₂, упругости пружины связи– k₀ (х₂ – х₁), вязкого трения. По второму закону динамики:

Разделив обе части уравнений на массу и вводя обозначение получим

исходные дифференциальные уравнения:

По аналогии с предыдущим случаем закон движения для первого тела будем искать в виде:

Подставив значение смещения первого тела, первой и второй производных от него в первое из исходных дифференциальных уравнении, получим:

где:

При записанных законах движения тел законы изменения их скоростей имеют вид:

Для начального момента времени t = t₀ = 0 значения смещений тел и их скоростей равны:

Значения амплитуд составляющих колебаний и начальных фаз получить проще, если начальные условия записать в виде:

Легко видеть, что из начальных условий значения амплитуд составляющих а, b, а также значения начальных фаз колебаний равны:

Получим законы движения для некоторых частных случаев.

а). Первое тело системы отводится от своего положения равновесия на А, а второе -на С₂А от его положения равновесия в ту же сторону, что и первое тело. Оба тела затем без толчка отпускаются. Значения начальных смещений и скоростей равны: x₁₀ = А, x₂₀ = С₂А, v₁₀ = v₂₀=0.

Из выражения (413) видно, что амплитуда первой составляющей равна нулю, поэтому оба тела будут совершать затухающие колебания с одинаковой частотой ω₂. Амплитуда b из (414) равна:

а начальная фаза определяется из соотношения

Следовательно, оба тела совершают затухающие колебания по сходным законам с одинаковой частотой, совпадающей с одной из главных:

б). Первое тело отводится от своего положения равновесия на А, а второе – на в ту же сторону, что и первое. Тела без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости равны:

Из (414) получаем, что в этом случае амплитуда уже второй составляющей равна нулю, поэтому оба тела совершают колебания с одинаковой частотой

Из (413) и (415) находим значения амплитуды колебаний а и начальной фазы

С учётом этого законы движения тел принимают вид:

Как видно, и в этом случае тела колеблются по сходным законам с одинаковой частотой, совпадающей с другой из главных.

в). Оба тела отводятся от их положений равновесия на одинаковое расстояние А в одну сторону, а затем без толчка отпускаются. Начальные смещения тел и скорости равны:

Из начальных условий (413), (414), (415) и (416) находим значения амплитуд составляющих и начальные фазы:

Окончательно законы движения тел принимают форму:

Колебания каждого из тел системы в этом случае представляет собой суперпозицию двух затухающих колебаний, происходящих с одной из главных частот колебаний системы.