Преобразование и масштабирование

Приведенные в предыдущем разделе соотношения соответствовали "нормированным" фильтрам с коэффициентом передачи в полосе пропускания 0 дБ и граничной частотой 1 рад/с. На практике такая ситуация может возникнуть чисто теоретически.

Масштабирование коэффициента передачи. Масштабирование коэффициента передачи в полосе пропускания производится умножением передаточной функции на требуемый коэффициент.

Масштабирование частоты. Масштабирование частоты производится заменой s на s/ω_М, где ω_М— требуемая частота. При этом передаточная функция "растягивается" (или "сжимается")таким образом, что то, что происходило с ней при ω = 1 рад/с, теперь происходит при ω/ω_м = 1 рад/с (т.е., когда ω = ω_м).

Преобразование. До сих пор мы рассматривали только фильтры нижних частот. Другие типы фильтров, например, полосовые, верхних частот или режекторные, отдельно не рассматривались, так как их можно преобразовать к низкочастотным эквивалентам. Задача проектирования при этом сводится к расчету ФНЧ. После этого полученная передаточная функция вновь преобразуется к исходному типу фильтра (рис. 6.50).

Рис. 6.50. Процедура преобразования частоты.

1. Преобразование ФВЧ.

Передаточную функцию ФВЧ можно получить из функции ФНЧ следующей подстановкой в передаточную функцию:

При этом мы получим передаточную функцию ФВЧ, имеющего такой же коэффициент передачи на ω_ВЧ, что и ФНЧ на ω_НЧ. Чтобы избежать путаницы, принято сначала приводить требуемую передаточную функцию ФВЧ к нормированному виду, а затем применять вышеуказанное преобразование (рис. 6.51).

2. Преобразование ПФ.

Передаточную функцию ПФ можно получить из функции ФНЧ, применяя следующее преобразование:

где ω_РЕЗ — центральная частота полосы пропускания. Значение В_ПФ есть ширина полосы пропускания ПФ, причем В_ПФ = ω_Р2 - ω_Р1 и ω_РЕЗ = т.е. ω_Р1и ω_Р2 расположены симметрично относительно ω_РЕЗ.

Примечание: преобразование фильтра нижних частот в полосовой фильтр удваивает его порядок.

Полученный фильтр будет иметь такой же коэффициент передачи в полосе пропускания на частотах ω_Р2 и ω_Р1 как и ФНЧ на ω_НЧ. Чтобы избежать путаницы, принято приводить требуемую передаточную функцию ПФ к нормированному виду так, чтобы ω_РЕЗ = 1 рад/с. Кроме того, характеристика ПФ должна быть симметрична (рис. 6.52), т.е.

Если это условие не выполняется, характеристику симметрируют так, как показано на рис. 6.53.

3. Преобразование ППФ.

Передаточную функцию ППФ можно получить из передаточной функ­ции ФНЧ, производя подстановку:

где ω_П - центральная частота полосы подавления:

а В_ППФ - ширина полосы подавления:

Как и в случае ПФ, преобразование ППФ удваивает порядок фильтра.

ППФ будет иметь такой же коэффициент передачи на частотах ω_П1 и ω_П2, как и ФНЧ на ω_НЧ. По-прежнему, чтобы избежать путаницы, принято нормировать передаточную функцию ППФ так, чтобы ω_П = 1 рад/с. Характеристика ППФ должна быть симметричной:

Если это не так, ее необходимо превратить в симметричную тем же способом, что и в случае с ПФ. Подробности преобразования ППФ в ФНЧсм. на рис. 6.54.