Точечные и интервальные оценки

Средние величины. Характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения.

1. Средняя арифметическая .

Основные свойства средней арифметической:

a) средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной;

b) если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз;

c) или ;

d) если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число;

e) или ;

f) средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю: или ;

g) средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков;

h) ;

i) если ряд состоит из нескольких групп, то общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп: .

Структурные или порядковые средние:

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Показатели вариации:

1. Вариационный размах .

2. Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической: .

3. Дисперсия .

4. Среднее квадратическое отклонение .

5. Коэффициент вариации: равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической %.

Основные свойства дисперсии, аналогичные свойствам дисперсии случайной величины:

a. Дисперсия постоянной равна нулю.

b. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число к, то дисперсия увеличится (уменьшится в раз): .

c. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не измениться.

d. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической: .

e. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии: , – межгрупповая дисперсия; – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе статистику), с помощью которой судят о значении параметра : .

Оценка в отличие от оцениваемого параметра является случайной величиной.

Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция – среднее арифметическое наблюдаемых значений признака.

Несмещенной называют статистическую оценку (тета), математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.

.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Пояснение. Пусть – стат. оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Беря разные выборки одного и того же объема получаем оценки , которые различны между собой. – как случайная величина, а ее значения. Если дает приближенное значение с избытком, тогда каждое найденное значение больше истинного значения . Тогда и . Если дает оценку с недостатком, то . Таким образом, использование такой оценки привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

или .

Примеры оценок: выборочная дисперсия есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии; выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервалов.

Оценка будет тем точнее оценивать параметр , если , где очень маленькое.

Значение характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Наиболее часто задают надежность равную 0,95; 0,99; 0,999.

Вероятность того, что равна , запишется или . То есть интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр с вероятностью .

Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину . Математическое ожидание этих величин равно и среднее квадратическое отклонение .

Если случайная величина Х распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям также распределена нормально.

Параметры распределения .

Пусть выполняется соотношение с заданной надежностью .

Используя функцию Лапласа . Сделав соответствующую замену, получим:

;

То есть доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , точность оценки . Число t определяется по таблице функции Лапласа . Таким образом, получаем интервал:

. (4.1)

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

На практике почти всегда генеральная дисперсия неизвестна.

В этом случае используется следующая формула для построения доверительного интервала:

, (4.2)

где – статистика Стьюдента с уровнем надежности и числом степеней свободы ; – смещенная оценка среднего квадратического отклонения.

Пример 56. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы 18 ч. Найти доверительный интервал для среднего срока службы с вероятностью 0,95.

Решение. По формуле 4.2 найдем доверительный интервал. По данным задачи . По таблице Стьюдента находим .

Тогда .

. То есть с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.