Примеры решения задач. Задача 1. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда равно 8 мм

Задача 1. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда равно 8 мм. При каком давлении теплопроводность воздуха, находящегося между стенками дьюаровского сосуда, начнет уменьшаться при откачке? Температура воздуха , диаметр молекулы воздуха принять равным .

Решение

Коэффициент теплопроводности газа определяется по формуле , (2.2.1)

где - удельная теплоемкость при постоянном объеме, - плотность, - средняя арифметическая скорость молекул, - средняя длина свободного пробега молекул. Средняя арифметическая скорость и средняя длина свободного пробега вычисляются по формулам

, , (2.2.2)

где - концентрация молекул. По определению , где число молекул можно определить из соотношения

. (2.2.3)

Из (2.2.2), (2.2.3) находим

. (2.2.4)

Подставляя (2.2.4) в (2.2.1), получаем

.

На первый взгляд полученное выражение не зависит от давления. Однако, при выводе формул мы не учитывали размеров сосуда. Очевидно, что как только средняя длина свободного пробега молекул сравняется с расстоянием между стенками, она перестанет изменяться, в то время как плотность газа будет продолжать уменьшаться по мере откачки. Следовательно, уменьшение теплопроводности начнется в тот момент, когда средняя длина свободного пробега молекул станет равной расстоянию между стенками.

Выражая концентрацию из уравнения и подставляя в (2.2.2), находим

,

откуда следует расчетная формула

.

Подстановка числовых значений дает:

.

Задача 2. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение: а)коэффициентов диффузии; б)вязкости; в)теплопроводностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми.

Решение

По определению коэффициента диффузии

. (2.2.5)

Выражая концентрацию из уравнения , для коэффициента диффузии с учетом (2.2.2) получаем выражение

.

Учитывая, что газы находятся при одинаковых условиях, получаем

. (2.2.6)

Коэффициент динамической вязкости вычисляется по формуле

, (2.2.7)

где - плотность газа. Следовательно, коэффициенты диффузии и динамической вязкости связаны друг с другом соотношением

. (2.2.8)

Плотность газа можно определить из уравнения Менделеева - Клапейрона

. (2.2.9)

Из (2.2.6), (2.2.8), (2.2.9) следует

.

.

Коэффициент теплопроводности вычисляется по формуле

, (2.2.10)

где - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, - число степеней свободы молекулы.

Таким образом, между коэффициентами динамической вязкости и теплопроводности существует простая связь

. (2.2.11)

Поскольку число степеней свободы у двухатомной молекулы равно пяти, а у трехатомной – шести, из (2.2.10), (2.2.11) следует