Сформируем взвешенную функцию ошибки

.

Весовая функция g(θ) определяется следующим образом

При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. На рисунке П.1 представлен случай, когда g = 1 и пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания.

Чебышев доказал, что в случае оптимального решения ошибка имеет по крайней мере K+2 экстремума. Обозначим через , где i= 0,1,..K+1, нормированные частоты экстремумов.

На этих частотах должно выполняться условие

,

где , i =0,1,..K+1

Приведенные соотношения представляют собой систему K+2 линейных уравнений с K+2 неизвестными, из которых K+1 неизвестная – коэффициенты C_k аппроксимирующей функции A(θ), а ещё одна неизвестная - ошибка .

Трудность решения задачи состоит в том, что частоты неизвестны.

Поэтому сначала произвольно выбирают K+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят C_k и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак.

В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и, в конце концов, сходится к своей верхней границе.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Программа синтеза нерекурсивного цифрового фильтра с линейной ФЧХ методом

наилучшей равномерной чебышевской аппроксимации - Filter1

1 // Программа синтеза нерекурсивного цифрового фильтра

2 // с линейной ФЧХ методом наилучшей равномерной

3 // чебышевской аппроксимации - Filter1

4 // Ввод исходных данных

5 N = 51; // Длина импульсной характеристики фильтра

6 fNmin = 0.15; // Минимальное значение нормированной

7 // частоты полосы пропускания

8 fNmax = 0.2; //Максимальное значение нормированной

9 // частоты полосы пропускания

10 fN1min = 0; // Минимальное значение нормированной

11 // частоты левой полосы задерживания

12 fN1max = 0.12; // Максимальное значение нормированной

13 // частоты левой полосы задерживания

14 fN2min = 0.23; // Минимальное значение нормированной

15 // частоты правой полосы задерживания

16 fN2max = 0.5; // Максимальное значение нормированной

17 // частоты правой полосы задерживания

18 K = 1; // Требуемый коэффициент передачи фильтра

19 // в полосе пропускания

20 Kz = 0; // Требуемый коэффициент передачи фильтра

21 // в полосе задерживания

22 g1 = 1; // Весовой коэффициент в полосе пропускания

23 g2 = 1; // Весовой коэффициент в полосе задерживания

24 // Определение импульсной характеристики

25 h = zeros (1:N);

26 h = eqfir(N, [fN1min fN1max; fNmin fNmax; fN2min fN2max], [Kz K Kz], [g2 g1 g2];

27 // Вывод графика импульсной характеристики

28 clf ();

29 subplot (2,1,1)

30 k = [1:N];

31 plot2d3 (k, h, style= [ color(“blue”)])

32 xgrid

33 xtitle (‘Импульсная характеристика фильтра’)

34 // Расчет АЧХ фильтра

35 [Kf fN]= frmag(h, 500); // Расчет АЧХ Kf

36 // Вывод графика АЧХ

37 subplot (2,1,2)

38 plot2d (fN, Kf, style=[color(“blue”)])

39 xgrid

40 xtitle (‘АЧХ фильтра’)

41 // disp (h) // Вывод отсчетов импульсной характеристики.

42 // Если необходимо вывести отсчеты импульсной

43 // характеристики, нужно убрать символ “ // ” в начале

44 // строки 41

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Программа машинного эксперимента по определению АЧХ фильтра – Filter2

1 // Программа машинного эксперимента по определению

2 // АЧХ фильтра - Filter2

3 // Ввод исходных данных

4 N = 51; // Длина импульсной характеристики фильтра

5 fNmin = 0.15; // Минимальное значение нормированной

6 // частоты полосы пропускания

7 fNmax = 0.2; //Максимальное значение нормированной

8 // частоты полосы пропускания

9 fN1min = 0; // Минимальное значение нормированной

10 // частоты левой полосы задерживания

11 fN1max = 0.12; // Максимальное значение нормированной

12 // частоты левой полосы задерживания

13 fN2min = 0.23; // Минимальное значение нормированной

14 // частоты правой полосы задерживания

15 fN2max = 0.5; // Максимальное значение нормированной

16 // частоты правой полосы задерживания

17 K = 1; // Требуемый коэффициент передачи фильтра

18 // в полосе пропускания

19 Kz = 0; // Требуемый коэффициент передачи фильтра

20 // в полосе задерживания

21 g1 = 1; // Весовой коэффициент в полосе пропускания

22 g2 = 1; // Весовой коэффициент в полосе задерживания

23 X=1; // Амплитуда входного сигнала

24 fNs = 0.15; // Частота сигнала

25 nmax = 300; // Количество отсчетов сигнала

26 // Определение импульсной характеристики

27 h = zeros (1:N);

28 h = eqfir(N, [fN1min fN1max; fNmin fNmax; fN2min fN2max], [Kz K Kz], [g2 g1 g2];

29 n = 1:nmax;

30 xs = X*sin(2*%pi*fNs*n); // Формирование синусоидального

31 // сигнала на входе фильтра для снятия АЧХ

32 xc = X*cos(2*%pi*fNs*n); // Формирование косинусоидального

33 // сигнала на входе копии фильтра

34 ys = zeros (1: nmax);

35 yc = zeros (1: nmax);

36 Vs = zeros (1: nmax); // Начальная установка – обнуление

37 // линии задержки фильтра

38 Vс = zeros (1: nmax); // Начальная установка – обнуление

39 // линии задержки копии фильтра

40 Y = zeros (1: nmax);

41 B = h;

42 for n = 1:nmax // Организация цикла по порядковому номеру

43 // отсчета сигнала

44 Vs(1) = xs(n); // Подача синусоидального сигнала на вход

45 // фильтра

46 Vc(1) = xc(n); // Подача косинусоидального сигнала на вход

47 // копии фильтра

48 s = 0;

49 c = 0;

50 for k = 1:N

51 s = s+B (k)*Vs (k);

52 с = с+B (k)*Vс (k);

53 end

54 ys (n) = s; // Отсчет выходного сигнала фильтра

55 yс (n) = с; // Отсчет выходного сигнала копии фильтра

56 for k = 1: N-1 // Организация цикла для сдвига сигнала

57 // в линии задержки фильтра

58 Vs (N+1-k) = Vs (N-k);

59 Vс (N+1-k) = Vс (N-k);

60 end

61 Y(n) = sqrt(yc(n)*yc(n)+ys(n)*ys(n) // Амплитуда сигнала на

62 // выходе фильтра

63 end

64 // Выдача результатов моделирования

65 clf();

66 Mn = [1:nmax];

67 subplot (3,1,1)

68 plot2d (Mn,xs,style = [color (“red”)])

69 xgrid

70 xtitle (‘Сигнал на входе фильтра’)

71 subplot (3,1,2)

72 plot2d (Mn, ys, style = [color (“red”)])

73 xgrid

74 xtitle (‘Сигнал на выходе фильтра’)

75 subplot (3,1,3)

76 plot2d (Mn, Y, style = [color (“red”)])

77 xgrid

78 xtitle (‘Амплитуда сигнала на выходе фильтра’)

РАБОТА №4

СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКУРСИВНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение метода билинейного Z-преобразования при синтезе рекурсивных фильтров, расчет коэффициентов системной функции полосового фильтра, исследование селективных свойств фильтра.

2. ЛИТЕРАТУРА

2.1. Приложение к лабораторной работе.

2.2. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры, Самара, 2008г.

3. ПОДГОТОВКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Изучите указанную в разделе 2 литературу и ответьте на контрольные вопросы.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

4.1. Что называют цифровым фильтром?

4.2. Какой цифровой фильтр называют рекурсивным, а какой нерекурсивным?

4.3. Дайте определение импульсной характеристике фильтра. Что такое БИХ- и КИХ-фильтры?

4.4. Дайте определение системной функции фильтра. Как по системной функции определить частотную характеристику фильтра – зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты?

4.5. Как по частотной характеристике фильтра найти его АЧХ?

4.6. Как по частотной характеристике фильтра найти его ФЧХ?

4.7. Запишите соотношение, связывающее комплексную переменную p передаточной характеристики аналогового фильтра-прототипа с комплексной переменной z системной функции цифрового фильтра – билинейное z – преобразование. Докажите, что билинейное z – преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр – прототип в устойчивый цифровой фильтр.

4.8. Запишите соотношение, связывающее комплексную переменную p передаточной характеристики аналогового фильтра-прототипа с комплексной переменной z системной функции цифрового фильтра – билинейное z – преобразование. Чем отличается АЧХ цифрового фильтра от АЧХ аналогового прототипа при использовании метода билинейного Z – преобразования?

4.9. Начертите спектральную диаграмму шума на выходе полосового фильтра с прямоугольной АЧХ, если на входе фильтра действует белый шум.

4.10. Во сколько раз изменяется отношение сигнал/помеха на выходе полосового фильтра по сравнению с отношением сигнал/помеха на входе, если коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания равен единице, а в полосе задерживания 0.001? Частота синусоидального сигнала находится в полосе пропускания фильтра, а частота синусоидальной помехи в полосе задерживания.

5. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ